上級編 １． イールドカーブ
1.1 Interpolation
1.1.7 Minimalist Quadratic Interpolator
< 関数形 >
Hagan-Westは、さらに別のInterpolationの方法を提案しています。
この方法も、Monotone Convex Spline法と同じく、瞬間フォワード金利の補間関数を導出するものです。すなわち、Pillar間における瞬間フォワード金利を2次のSpline関数で下記のように表現します。
\[ f(t)=a_i+b_i (t-t_{i-1})+c_i (t-t_{i-1})^2,\ \ t_{i-1}\lt t \lt t_i,\ \tag{1.1.64} \]この補間関数が満たす条件として、まず区間における瞬間フォワード金利の平均（積分）は区間フォワード金利と一致する必要があります。
\[ f_i^d=\frac{1}{t_i-t_{i-1}} \int_{t_{i-1}}^{t_i} f(s)ds =a_i+\frac{1}{2} b_i h_i+\frac{1}{3} c_i h_i^2,\ \ i=1,2,…,n,\ \tag{1.1.65} \]また、各Pillarにおいて瞬間フォワード金利が連続であるとすると、
\[ a_{i+1}=a_i+b_i h_i+c_i h_i^2,\ \ i=1,2,…,n-1\ \ \tag{1.1.66} \]これで、３ｎ 個の未知数に対して、２ｎ－１ 個の方程式が揃いました。
< Penalty 関数 >
あとｎ−１個、式が揃えば連立方程式が出来上がりますが、その方法を取らず、エラー関数を最小にする形で未知数を求めていきます。ここで使う制約条件としては、例えば、上記式の1階微分や2階微分を連続にする、といった条件が考えられます。
しかしここでは、Pillarの前後で発生する1階微分の値がジャンプする度合い、及び期間加重した2階微分の値をPenalty 関数として導入します。
まず、瞬間フォワード金利の補間関数の1階微分と2階微分は、以下のようになります。
\[ f'(t)=b_i+2c_i (t-t_{i-1}),\\ f''(t)=2c_i, \]また、各Pillar \(t_i\) で発生する1階微分のジャンプと期間加重した2階微分を次の様に定義します。
\[ J_{1,i}=b_{i+1}-b_i-2c_i h_i,\ \ i=1,2,…,n-1\\ J_{2,i}=2c_i h_i,\ \ \ \ \ \ i=1,2,…,n \]そして、Penalty 関数を、ウェイト付けされたそれぞれのジャンプ値の2乗和の合計と定義します。
\[ P_w := w \sum_{i=1}^{n-1} J_{1,i}^2 +(1-w)\sum_{i=1}^n J_{2,i}^2,\ \tag{1.1.67} \]1.1.65式と1.1.66式の制約条件（2次のSpline関数の区間での積分が、区間フォワード金利と一致する事、および、2次Spline関数は各Pillarで連続）の下で、Penalty 関数を最小にするようなInterpolatorの係数を求めたいと思いますが、これはラグランジェ乗数法を使って解けそうです。３ｎ 個の未知数に対して、２ｎ－１ 個の制約条件からくる方程式があるので、自由度はｎ+１になります。
３ｎ 個の未知数のベクトルを
\[ \mathbf x =\{ a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,…,a_n,b_n,c_n \} = \{ x_{3i-2},x_{3i-1},x_3i,…,x_{3n-2},x_{3n-1},x_3n \},\ \ i=1,2,…,n \]とおき、上記制約条件の式を、下記のように書き換えます。
\[ 0=x_{3i-2}+\frac{1}{2}x_{3i-1} h_1+\frac{1}{3} x_{3i} h_i^2-f_i^d := g_i (x),\ \ i=1,2,…,n,\\ 0=x_{3i-2}+x_{3i-1} h_1+x_{3i} h_i^2-x_{3i+1} := g_{n+i} (x),\ \ i=1,2,…,n-1 \]また、最小値を求めたいPenalty 関数は、以下のように書き換えられます。
\[ P_w=w\sum_{i=1}^{n-1} (x_{3i-2}-x_{3i-1}-2x_{3i} h_i)^2 +4(1-w) \sum_{i=1}^n x_{3i}^2 h_i^2 \]ラグランジェ乗数を \(λ_k,\ k=1,2,…,2n-1\) と置くと、以下のような最小値問題が出来上がります。
\[ \nabla P_w = \sum_{k=1}^{2n-1} λ_k \nabla g_k,\\ or\ \ \ \ \ \ \frac{\partial P_w}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^{2n-1} λ_k \frac{\partial g_k}{\partial x_i},\ \ i=1,2,…,3n\ \tag{1.1.68} \]これで5n-1 個の未知数に対して、5n-1 個の方程式が用意され、解が求まります。
< ウェイト \(w\) について >
その前に、Penalty 関数の中で使われているウェイト \(w\) を決めなければいけません。これもまた、出来上がったカーブの形状を見ながら主観的に決めるパラメータになります。Hagan-Westは、論文の中で、\(w\) はベンチマーク商品の数に依存すると述べています。ベンチマーク商品の数が少なく、Pillar間の間隔が長い場合、\(w\lt 0.65\) にすると、出来上がったカーブは、Piecewise linear forwardに近くなります。Piecewise linear forwardは、区間毎にジグザグの波を形成し、区間が長いとマイナス金利が発生する可能性が高くなり、実務では使えません。一方で、\(w\uparrow １\) に近づけると、1階微分のジャンプに対し高いペナルティーを与えるので、Quadratic Spline法に収束していきます。Quadratic Spline法の大きな問題点のひとつは、カーブの両端をマッチさせた後、まだ自由度が１つ残り、主観的な調整が必要になる事です。しかし、\(w＝１\) にしない限り、Penalty 関数を使った上記方法では自由度は発生しないので、特に問題にはなりません。
一方で、ベンチマーク商品の数が多く、Pillar間の間隔が密な場合、\(w\) を１に近づけると、カーブにジグザグの波が発生し、マイナス金利の可能性も高くなります。経験値として、\(w\gt 0.9\) でその可能性が高くなります。その結果、Hagan-Westは、\(w=0.8\) 程度が、最適ではないかと述べています。
Hagan-Westによれば、この方法は実務では人気のある方法のようです。