基礎編 ２． 金利の期間構造
2.5 イールドカーブの構築方法（１） パラメトリック法
2.5.2 Nelson Siegelモデル
Nelson-Siegelは、国債のイールドカーブに内包するInstantaneous Forward Rate (瞬間フォワード金利)のカーブを表現するため、次の様な複数のパラメータを使った多項式を提示しました。（C. Nelson, A. Siegel、”Parsimonious Modelling of Yield Curves.” 、1987 ）
\[ f(T)=\beta _0+\beta _1 e^{(-\frac{T}{\tau})}+\beta _2\frac{T}{\tau}e^{(-\frac{T}{\tau})} \](注１) 瞬間フォワード金利については既にセクション2.4で触れましたが、特定のフォワード期間に対応するフォワード金利の内その期間が無限小のものを言います。現時点をｔ、フォワード期間を \( [T_a,T_b] \) とし、ｔ 時におけるフォワード金利を\( F(t,T_a,T_b) \) と表記します。ここで、\( T_b \) を限り無く \( T_a \) に近づけたものが瞬間フォワード金利と呼ばれています。さらに\( T_a＝ｔ \) の時は、瞬間短期金利と呼びます。
（注２）ここで、なぜPar RateやZero Coupon Rateでは無く、瞬間フォワード金利のイールドカーブをモデル化しようとしたのか疑問が湧きます。この事は、上記の論文では、特に触れられていませんが、おそらく、不用意にPar RateやZero Coupon Rateでイールドカーブを描いてしまうと、それに内包するForward Rateのカーブがいびつな形になる可能性があるからだと推察します。
この式は、瞬間フォワード金利のカーブが ３つの項（成分）の和で表現できるとしているものです。すなわち、
\[ 瞬間Forward金利(T)＝ 定数 + 係数1 \times 減衰ファクター + 係数2 \times 増大ファクター \times 減衰ファクター \]T=0 の時、第2項は\( \beta _1\)、第3項は0になります。即ち、イールドカーブの左端（瞬間短期金利）が\( β_0+β_1 \)になります。また、T=∞の時、第2項と第3項は0になるので、イールドカーブの右端（無限遠でのフォワード金利）は\( β_0\) になります。0< T < ∞の時、第2項は、指数関数が１から０に減衰していくので、\(β_1\)が+であれば、右下がりの曲線、マイナスであれば右上がりの曲線となり、その初期値はβ1、無限遠で0に収束します。また第3項は、0< T < ∞ の時、\(β_2\) の符号が+であれば、初期値は0で、そこから一旦増加し、Tがある時点を過ぎると減少に向かい、無限遠で0に近づいていきます（\(β_2\)が－ならその逆）。この３項が組合さった結果、各係数パラメータの大小により、右上がりになったり、右下がりになったり、一旦右上がりのあと右下がり（あるいはその逆）といったイールドカーブの形状が表現できます。
各パラメータ、すなわち\( β_0,\ β_1,\ β_2,\ \tau \) は、現在の市場実勢、すなわち特定の期間ごとの利回りの情報（時間軸と利回り軸の座標上に点をPlotとした散布図）に、最小2乗法などの最適化手法を使って求めます。市場実勢の瞬間フォワード金利を求めるのは大変なので、まず、Bootstrappingの方法を使って、ゼロクーポンレートのカーブ（Zero Coupon Curve）を求めます。次に、上記の瞬間Forward Rateの式をZero Coupon Rateの式に変換してから、パラメータの最適化を行います。瞬間フォワード金利を時間 0 から T まで積分し年率換算するとZero Coupon Rateが求まります。
\[ ZeroCouponRate＝\frac{\int_0^T f(t) dt}{T} \]上記のNelson-Siegelの式を 0 から T まで積分すると以下のようになります。
\[ ZeroCouponRate(T)=\beta_0 + (\beta_1 + \beta_2 )\frac{1-e^{(-T/\tau )}}{T/\tau} -\beta_2\ e^{-T/\tau} \]この式を、市場レートから求めたZero Coupon Rateにフィットさせ各パラメータを求めていきます。
先ほど述べた３種類のタイプのイールドカーブの形状を表現するだけなら、指数関数を使わなくても、（無限遠を無視すれば）べき級数の多項式でも可能です。あるいは、カーブの成分となる項の数（すなわちパラメータの数）を増やせば、もっと複雑なカーブの表現も可能です。しかし、パラメータの数を増やせば、Over-fittingの問題が発生し、カーブに不自然な凹凸が至る所で発生します。また、各パラメータの経済的な意味付けも難しくなってきます。Nelson-Siegelも、実際の市場データを元に実証した結果、３項で４～５種類のパラメータくらいがちょうどいいと判断したのでしょう。
ちなみに、各パラメータの意味付けをすると、
- \(β_0\)：長期金利の収束点（市場が予想している長期間の実効金利）
- \(β_1\)：長期金利と短期金利のスプレッド。
- \(β_2\)：カーブに発生するHumpの曲がり具合
- \(\tau\) ：Humpがどの時期に発生するかを調整するパラメータ
と解釈できます。