上級編 ３． 基本的な金利オプション
3.3 Caplet価格式の導出
3.2で示したPayoffの期待値計算の方法を、CapletのPayoffに当てはめて計算してみます。Capletの対象資産はフォワードLIBOR金利です。まず ｔ 時における期間\(T_1\ から\ T_2\) までのフォワード期間に対応するフォワードLIBORレートを下記のように表記します。
\[ F(t;T_1,T_2),\ \ \ \ t \leq T_1 \lt T_2 \]Capletは、オプション行使時＝ \(T_1\) のフォワードLIBORレートが、ストライクレート K を上回っていれば行使されます。その時の Payoffは下記のようになります。（但し見做し元本を 1、LIBORの期間を、\(T_2-T_1=\tau \) とします）
\[ Payoff (T_1,F(T_1;T_1,T_2),K)=\tau Max \left[ F(T_1;T_1,T_2 )-K,0 \right] \](i) フォワードDiscount Factorを導出
すみません、このままでは不正確です。一般的な取引慣行では、Capletのオプション行使日は \(T_1\) ですが、実際にキャッシュフローが発生するのは LIBOR期間のエンド日、すなわち \(T_2\) となります。従って、\(T_1\) 時点では Fixingされた LIBOR金利で、\(T_2\) から \(T_1\) までの期間\( (\tau ) \)分だけ価値を割引く必要があります。それを加味したPayoffは
\[ Payoff \left(T_1,F(T_1;T_1,T_2 ),K \right) = \tau Max \left[F(T_1;T_1,T_2 )-K ,0\right] \left(1+τF(T_1;T_1,T_2 )\right)^{-1} \tag{21} \]となります。この式の \(\tau\) は定数で、\(Max \left[F(T_1;T_1,T_2 )-K ,0\right]\) はBlackの公式から求まります。では、\(T_2\) から \(T_1\) までの期間\((\tau)\) 分だけ価値を割引く為の
\[ Forward\ Discount\ Factor = \left( 1+\tau F(T_1;T_1,T_2 )\right)^{-1} \tag{22} \]はどうやって求めればいいでしょうか？
式中の、\(F(T_1;T_1,T_2)\)の確率分布が既に求まっているので、現時点におけるその期待値を求めればよさそうです。やってみましょう。
\[ \begin{align} E\left(F(T_1;T_1,T_2 )\right) &= \int_{-∞}^∞ F(t;T_1,T_2)\exp(vx+m)\ px\ dx \\ &=\int_{-∞}^∞ F(t;T_1,T_2)\exp(vx+m) \frac 1{\sqrt{2π}}\exp\left(-\frac 1 2 x^2\right)\ dx \\ &=F(t;T_1,T_2 ) \int_{-∞}^∞ \frac 1{\sqrt{2π}}\exp\left(vx+m-\frac 1 2 x^2\right)\ dx \\ &=F(t;T_1,T_2 ) \int_{-∞}^∞\frac 1{\sqrt{2π}}\exp\left(-\frac 1 2 (x-v)^2+m+\frac 1 2 v^2\right)\ dx\\ &=F(t;T_1,T_2 ) \int_{-∞}^∞\frac 1{\sqrt{2π}}\exp\left(-\frac 1 2 (x-v)^2\right)\exp\left(m+\frac 1 2 v^2\right)dx\\ &=F(t;T_1,T_2)\exp\left(m+\frac 1 2 v^2\right) \int_{-∞}^∞ \frac 1{\sqrt{2π}}\exp\left(-\frac 1 2 (x-v)^2\right)\ dx \end{align} \]ここで、被積分関数は、平均が \(v\) となる確率密度関数と同一なので、それを\(x\)の全範囲\(（-∞\lt x \lt ∞）\) で積分すると 1 になります。また\( \exp\left(m+\frac 1 2 v^2\right)\) も(19)式の通り1になります。なので、結局
\[ E\left(F(T_1;T_1,T_2 )\right)=F(t;T_1,T_2) \tag{23} \]となります。
長々と、解析しましたが、(11)式で表現できる \(F(T)\) は、指数マルチンゲールと呼ばれ、その期待値は \(F(t)\) と一致します。その定理を使えば簡単に済んだのですが、逆にそれを証明するような説明になりました。
(ii) フォワード Discount Factor を加味した Capletの Payoffの期待値
(23)式を使って(14)式の Forward Discount Factor を書き換え、さらに表記を以下のようにします。
\[ Forward\ Discount\ Factor = \left(1+τF(T_1;T_1,T_2 )\right)^{-1} =\left(1+\tau F(t;T_1,T_2)\right)^{-1}=P(t;T_1,T_2) \]以上から、Capletの現時点の価格は
\[ \begin{align} CapletPrice(t) &= P(t;t,T_1)\tau\left[F(t;T_1,T_2)\Phi(d_1)-K\Phi(d_2)\right]P(t;T_1,T_2) \\ &=P(t;t,T_2 )\tau\left[ F(t;T_1,T_2 )\Phi(d_1)-K\Phi(d_2)\right] \tag{24} \end{align} \](但し、\(d_1,\ d_2\) は(3)式または (17) (18) 式の通り。また期間 τ がかかっているのは、金利水準である F と K は、通常年率表示されているので、それをLIBOR期間に対応するレートに換算する為）
これが、市場で一般的に使われている Blackの公式による Capletの価格式です。Discount Factorが \(P(t;t,T_1)×P(t;T_1,T_2)=P(t;t,T_2)\) として、実際にキャッシュフローが発生する \(T_2\) 時から現時点までの Discount Factorを使っている点に注意して下さい。この部分が、Swaptionの価格評価で、やや難しい問題を発生させます。
ー補論
(23)式で使われている \(Discount\ Factor\ P(t;t,T_2)\)は\(P(t;T_1,T_2)×P(t;t,T_1)\) として求めていますが、これを現時点の1本のイールドカーブから導出していいのでしょうか。
イールドカーブで Forecasting Curveとして LIBORカーブを使い、Discounting Curveとして OISカーブを使うマルチカーブ対応を取る場合、\(P(t;t,T_1)\) はOISカーブから導出し、\(P(t;T_1,T_2)\) はLIBOR-Swapカーブから導出する必要があります。この場合、(23)式は、1行目のように、Discount Factorを分けて表記しておいた方がいいかも知れません。