上級編 ６． Libor Market Model
6.6 モンテカルロシミュレーション
6.6.7 リスク感応度（Greeks）の計測
6.6.7.4 Likelihood Ratio Method
6.6.7.4.2. 例 Black-Scholes Modelを使ったLRM
まず、Black-Scholesモデルを使って、LRM を説明します。ここでも例として、\(T_M\) スタートで \(T_{M+1}\) 満期のフォワードLibor \(L_M\) を対象とする Caplet を使います。 Black-Scholesモデルでは、\(L_M\) の確率過程を下記式のように記述できるのでした。
\[ dL_M(t)=r ~ L_M (t)dt+ σ~L_M(t)dw(t) \]但し、ｒ はリスクフリー金利で、σ は対象資産の変化率Volatility（いわゆるBlack Volatility）。いずれも一定と仮定。
この SDE に初期値 \(L_M(0)\) を与えれば解く事が出来て、オプション行使日における \(L_M(T_M)\) は以下のように求まります。
\[ L_M(T_M)=L_M(0)~e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2 \right)T_M+σ~\sqrt{T_M}~z},~~~~ z ~ \sim \mathscr {N}(0,1) \tag{6.193} \]この式から、オプション行使日における \(L_M(T_M)\) の確率分布は、対数正規分布になる事が分ります（両辺の対数を取ると、\(L_M(T_M)\) が、平均 \(=\ln L_M(0)+\left(r-\frac 1 2 σ^2\right)T_M\)、分散 \(=σ^2~T_M\) の正規分布になります）。
この \(L_M(T_M)\) の確率密度関数（ここでは \(g(L_M(T_M))\) と表記します）は、標準正規確率密度関数（ここでは \(ϕ(ζ)\) と表記します）を使って、下記のように表現できます。
\[ g(L_M(T_M))=\frac {1}{x~σ~\sqrt{T_M}} \phi\left(ζ(L_M(T_M))\right),~~~~~ ζ(L_M(T_M))= \frac {\ln \frac {L_M(T_M)}{L_M(0)} - \left(r-\frac 1 2 σ^2 \right)T_M}{σ~\sqrt{T_M}}, \]この確率密度関数は、見て分かる通り、パラメータとして \(L_M(T_M)\) の初期値である \(L_M(0)\) や、Volatilityパラメータである σ が含まれています。さらにそれらのパラメータに対して連続で微分可能です。以下、パラメータの集合を \({\bf θ}=\{θ_1,θ_2,…\}\) と表記し、\(g(L_M(T_M))\) を θ をパラメータとして持つ関数として、\( g(L_M(T_M),{\bf θ})\) と表記します。
< デルタ >
ここでは、\(θ =L_M(0)\) としてデルタを求めてみます。前のセクションで示した Score すなわち、 \(\frac {g'(L_M(T_M),L_M (0))}{g(L_M(T_M),L_M (0))}\) を、上記の確率密度関数を微分して求めると下記のようになります。
\[ \frac {g'(L_M(T_M),L_M (0))}{g(L_M(T_M),L_M (0))} =\frac {\ln \frac {L_M(T_M)}{L_M(0)}-\left(r-\frac 1 2 σ^2 \right)T_M}{L_M (0) σ^2 T_M } \tag{6.194} \]さらに、6.193 式で求めた \(L_M(T_M)\) を上式に代入すれば、下記のように大幅に簡略化できます。
\[ \frac {g'(L_M(T_M),L_M (0))}{g(L_M(T_M),L_M (0))}=\frac {z}{L_M (0)σ\sqrt{T_M}},~~~~z~\sim \mathscr{N}(0,1) \tag{6.195} \]これを6.191 式または 6.192 式に代入すれば、Caplet 価格の \(L_M(0)\) での微分、すなわちデルタを求める事ができます。
\[ \begin{align} Caplet Δ & =Numeraire(0)E \left[ \frac {CapletPayoff(L_M(T_M))}{Numeraire(T_M)}× \frac {Z}{L_M(0)~σ \sqrt{T_M}}\right] \\ & =e^{-r~T_M } E \left[(L_M(T_M)-K)^+ × \frac {Z}{L_M(0)~σ\sqrt{T_M}}\right] \tag{6.196} \end{align} \]MCS で、これのサンプル平均を計算すれば、それが LRM によるデルタになります。この場合、価格計算のために生成されたサンプル経路のデータを、そのまま使えるので、追加の計算負荷はそれ程大きくありません。また、Payoff 関数やニュメレールを微分しないので、それらが連続でなくとも問題ありません。
< ベガ >
次に、θ=σ としてベガを同様の方法で導出します。確率密度関数をσで微分して、\( \frac {g'(L_M(T_M),σ)}{g(L_M(T_M),σ)}\) を導出すると
\[ \frac {∂g(L_M (T_M ),θ)/∂σ}{g(L_M (T_M ),θ)} = -\frac 1 σ - ζ(L_M(T_M))\frac{∂ζ(L_M (T_M))}{∂σ}, \\ ~~~~但し ~~~~ \frac{∂ζ(L_M (T_M))}{∂σ}=\frac {\ln \frac{L_M(0)}{L_M(T_M )}+\left(r+ \frac 1 2 σ^2~T_M\right)}{σ^2 \sqrt{T_M}} \]さらに 6.193式で求めた \(L_M (T_M )\) を上式に代入すれば、
\[ \frac {∂g(L_M (T_M ),θ)/∂σ}{g(L_M (T_M ),θ)} =\frac {z^2-1}{σ-z\sqrt{T_M}},~~~~~ z ~ \sim \mathscr{N}(0,1) \tag{6.197} \]となります。ここから下記のようにベガを求める事が出来ます。
\[ Caplet Vega=E \left[ e^{-r~T_M} \left(L_M(T_M)-K\right)^+ × \frac {z^2-1}{σ-z\sqrt{T_M}} \right] \tag{6.198} \]期待値演算の中にある値を、MCS で生成されたサンプル経路ごとに求め、そのサンプル平均を求めれば、Capletのベガの推定値になります。
上記の例では、シンプルな Caplet の Payoff 関数を使いましたが、この方法は、Payoff 関数の形に依存しません。従って Digital Option のような非連続な Payoff でも、使えます。