上級編 ４． Short Rate Models
4.4 Hull-White モデル
4.4.5 Trinomial Tree : 3項ツリーの構築
4.4.5.1 はじめに
これまで、Hull-White モデルからゼロクーポン債価格やヨーロピアンオプションの価格式を、解析解として求めてきました。しかし、それらを Caplet や Swaption といった、単純なヨーロピアンオプションの価格評価に使う事は、殆どありません。実務では、それらの商品の時価評価は、Black モデルから導出されるオプション価格式を使うのが一般的であり、あえて取扱いの難しい Term Structure モデルを使う必要が無いからです。 いろんな文献では、Short Rate Modelのグループの内、Hull-WhiteモデルやAffineモデルは、オプション価格の解析解が求まる点が、優位点と述べられていますが、それ程大きな優位点とは言えません。
（とは言っても、その解析解に全く使い道が無い訳ではありません。モンテカルロシミュレーションなどの数値解を求める際に、収束速度を上げる為、解析解の値を制御変数として使うような用途があります。）
Term Structure モデルは、Bermudan Swaption などの、Black モデルでは価格評価が難しい、より複雑な金利デリバティブズの価格評価において、その存在意義があります。しかし、そういった複雑な商品の価格を、解析解で導出するのは、ほぼ不可能です。それらの価格評価は、通常、樹形構造を使ったモデルや、有限差分法、モンテカルロシミュレーションといった、数値解析による近似値を求めるスキームを使います。
Short Rate Modelsのグループでは、非常に多くの文献でTrinomial Tree (３項ツリーモデル)によるオプション価格の数値解を導出する方法が紹介されています。
(特にHull-Whiteの下記文献が、３項ツリーの構築方法を詳しく解説しています。
"Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models" 1994
"General Hull-White Model and Super Calibration" 2000
"A Generalized Procedure for building Trees for Short Rate Models" 2014
これらを参考にして、パラメータを時間 ｔ の関数とした、一般的な Hull-White モデルを使って、３項ツリーの構築方法と、それを使ったバーミューダン・スワップションの価格計算方法、さらにパラメータ係数の Calibration の方法を解説したいと思います。
まず３項ツリーアルゴリズムのベースとなる考え方を説明します。その為に、Hull-Whiteモデルを再度下記します。
\[ dr(t)=a(t)\left( θ(t)-r(t)\right) dt+σ_r (t)dW(t) \tag{4.1} \]この式は、確率変数 \( r(t) \) が、連続する非常に微小な時間の間に、平均的に \(a(t)(θ(t)-r(t))\) の割合で増加（あるいは減少）し、かつ \(σ_r(t)^2\) の比率で拡散していく様子を表現しています。この式を、一定の時点 T まで積分できれば（すなわち、この確率微分方程式が解ければ）、その時点における \(r(t)\) の分布が特定できます。分布が特定できれば、オプションなどの金融商品の価格計算が可能になります。しかし、この式のように、各パラメータが ｔ の関数となっており、もしその関数形が複雑で積分が直ちに求まらない場合は、分布を特定するのは簡単ではありません。
Trinomial Tree（３項ツリー）は、こういった場合に、確率変数が拡散していく様子を、微小な時間 \(Δt\) ごとに枝分かれしていく樹形構造で、数値的に近似するものです。
4.1 式では、微小時間後に確率変数 \(ｒ(t)\) の取り得る値は無限個存在しますが、樹形構造のモデルは、それを 2 個とか 3 個しか取らないと仮定します。但し、分岐後の期待値と分散は、モデルが想定した期待値と分散（の近似値）に一致するようにします。すると、樹形構造が時間の経過とともにどんどん枝分かれして行き、枝分かれした先へ到達する確率分布が、モデルが想定する確率分布に近づいていきます。数回の分岐では、非常に粗い近似にしかなりませんが、\(Δｔ\) を限りなく小さくして行けば、分岐先の数は限り無く多くなり、モデルが想定した分布に収束して行きます。確率変数の確率分布がどうなるか求まれば、それを使って確率変数の期待値が計算でき、ひいては、その確率変数に依存する様々な金融商品の価格が計算できます。
また、樹形構造のモデルでは、最終到達点以前のすべての到達点の確率分布も近似的に求まるので、アメリカンオプションやバーミューダンオプションのように、オプション行使日が、満期日以前に複数回あったとしても、各時点での期待値を計算できます。
確率変数が拡散して行く様子を分岐する樹形構造で数値的に近似する方法は、他にBinomial Tree (２項ツリー）の方法があります。考え方は同じですが、２項ツリーでは、分岐したノードを再結合させる必要がある為、離散化させた時間間隔と状態変数の間隔を一定にする必要があります。それに対し、３項ツリーでは時間間隔や状態変数の間隔を、ある程度まで柔軟に設定できるので、キャッシュフロー日や期日前のオプション行使日に合わせて時間軸を設定でき、より商品特性に合わせた樹形構造の構築が可能です。また行使日における状態変数のノード数を多くして、収束速度を上げるようなテクニックも使えます。
確率変数の拡散過程を離散的に近似する方法は、他にモンテカルロシミュレーション法があります。しかし、樹形構造の方が、分岐する数を限定しているので、計算は遥かに高速です。一方で、樹形構造のアルゴリズムは、確率変数のファクター数が増えると、計算時間が累乗で増加するので、一挙に計算時間が増大し、実務では使えないしろものになります。さらに、アジアンオプションや、ルックバックオプションのように、Payoff が経路依存するような商品にも対応できません。