上級編 ７． Local Volatility Model とStochastic Volatility Model
7.2 Local Volatility Model
7.2.1 一般的なモデル形
まず、Local Volatility Model の一般的な形を示します。
\[ dS(t) = μ(t)dt+λ(t)ϕ(S(t))dW(t) \tag{7.1} \]これは、自然な確率測度下での Stochastic Differential Equation（確率微分方程式、以下”SDE”）になるので、これを同値マルチンゲール測度下での SDE にすれば（すなわち、S(t) をニュメレールとの相対価格とすれば）、ドリフト項が消えるので次のような形になります。
\[ dS(t) = λ(t)ϕ(S(t))dW(t) \tag{7.2} \]以降、S(t)はすべて、ニュメレールとの相対価格と看做し、上の 7.2式の方をベースに解説を進めます。
上の式では、拡散項係数 \(ϕ(S(t))\) が、確率変数 S(t) の関数形になっています。すなわち、確率変数 S(t) の値（居場所）の違いで、Volatility の絶対水準が変わってきます。それで Local（局所：確率変数の居場所）Volatility Model と呼ばれています。λ(t)は、その水準自体を決定する時間の関数（あるいは定数）になります。上式で、\(ϕ(S(t))=S(t),~~λ(t)=λ\) （定数）と仮定すれば Black Model になるので、Black Model も Local Volatility Model の一種と看做していいかもしれません。ただ紛らわしいので、あまりそうは呼ばないですが。現在、一般的に紹介されている Local Volatility Model は、\(ϕ(S(t))\) が、S(t)の指数関数形（\(ϕ(S(t))=S(t)^p\)）をとる CEV（Constant Elasticity of Variance）モデルと呼ばれているもの、または、これを少し変形した \(ϕ(S(t))=(S(t)+α)^p\) の形を取る、Displaced Diffusion Model と呼ばれているものが中心です。より複雑な関数形にする事も可能ですが、その場合は解析が難しくなります。これらのモデルで、指数パラメータ p が 1 より大きければ、Volatility Smile カーブの表現も可能です。ただ、Local Volatility Model は、主に skew を表現するのに使われ、smile を表現するには、Stochastic Volatility Model を使うのが一般的です。
このセクションでは、Local Volatility Model の中では最もシンプルな、CEV モデルおよび Displaced Diffusion Model を使って、モデルからオプション価格を求めるプロセスを解説します。シンプルなモデルであれば、ヨーロピアンオプションの価格を解析的に求める方法がいくつか提示されています。また、より複雑な関数形を持つ Local Volatility Model であっても、様々な数学のテクニックを使って近似解を解析的に導出する方法も紹介されています。ただ、Local Volatility Model が、それ単独として使われる事は殆どありません。理由は、カーブの表現力に限りがあるからで、実務では、Local Volatility Model と 後程説明する Stochastic Volatility Model を組み合わせた複合モデルが使われるのが一般的です。そのような複合モデルでの解析プロセスを理解する上で、まずシンプルな Local Volatility Model の解析プロセスの理解が不可欠なので、そこから解説します。