基礎編 ６． クレジットデリバティブズ
6.3 クレジットデフォールトスワップの価格計算方法
6.3.3 ISDA Standard Model
6.3.3.3 クレジットカーブの構築方法
Reduced Form Model では、ポアソン過程におけるデフォールト強度λ(t)を使って、\(\tau\) 時までデフォールトが起こらない確率（サバイバル確率）を、下記のように求める事ができました。
\[ Q(τ)=e^{-\int_0^τ λ(t)dt} \]この式は、イールドカーブにおけるゼロクーポン債価格（Discount Factor）と瞬間フォワード金利との関係と同じになっています。すなわち、\(\mathbb{Q}(\tau)\) がDiscount Factorに相当し、\(λ(t)\) が、瞬間フォワード金利に相当します。また、右辺の指数の肩にある積分を、\(-\Lambda(\tau)\tau\) と置けば、\(\Lambda(\tau)\) は、デフォールト強度の累計（年率表示）になりますが、イールドカーブにおけるゼロクーポン金利（年率表示）に相当します。なので、市場のベンチマークとなっている CDS 価格が得られれば、そこから、イールドカーブの Bootstrapping-Interpolation と同じ要領で、サバイバル確率\(\mathbb{Q}(\tau)\)とデフォールト強度\(λ(t)\)と累積デフォールト強度\(\Lambda(\tau)\)の期間構造を求める事ができます。
ISDA Standard Model では、CDS 価格からクレジットカーブを導出する際、スワップ金利からイールドカーブを導出するのと同じ Bootstrapping-Interpolation法を使っています。すなわち、前のセクションで説明した通り、各 Pillarにおける Discount Factor に相当するサバイバル確率 \(\mathbb{Q}(\tau)\) の対数を取り、それを線形補間します。この Interpolationの方法を式で表します。\([t_{i-1},t_i]\) 間における任意の時間 \(\tau\) 時のサバイバル確率を \(\mathbb{Q}(\tau)\) とおきます。また、\(t_{i-1}~と~t_i\) 時点の累積デフォールト強度をそれぞれ \(\Lambda(t_{i-1}), \Lambda(t_i)\) とします。すると
\[ \ln\mathbb{Q}(τ)= \ln e^{-Λ(t)τ)}=\frac{ -Λ(t_{i-1}) t_{i-1} (t_i-τ)-Λ(t_i)t_i(τ-t_{i-1})}{Δt_i} \]となります。
ここでも、上記式は \([t_{i-1},t_i]\) 間で \(\tau\) に対して直線になる事から、デフォールト強度 \(λ(t)~が~[t_{i-1},t_i]\) 間で一定である事を意味します。各Pillar間のデフォールト強度を \(λ_i\) と置くと、上記式は、下記のように書き換えられます。
\[ \mathbb{Q}(τ)=e^{-Λ(τ)τ_i}=e^{-Λ(t_{i-1})t_{i-1}} e^{-\int_{t_{i-1}}^τ λ(t)dt}=\mathbb{Q}(t_{i-1}) e^{-f_i (τ-t_{i-1})},~~~ i=1,…,n \]上式の右辺ですが、\(\mathbb{Q}(t_{i-1})~ と~f_i\) は、クレジットカーブから pillar ごとに求まっています。なので CDS の計算式にあった積分が解析的に解けそうです。
実際に、ISDA Standard Model では、CDS 計算式にあった積分を、解析的に解いて、価格式を導出しています。次に、それを具体的にみてみましょう。