実務で使える金融工学　上級編

上級編　６．　 Libor Market Model　

6.6  　モンテカルロシミュレーション

6.6.7   リスク感応度（Greeks）の計測

6.6.7.3　  Path-Wise derivative法

6.6.7.3.1   　Path-Wise derivative 法の概要

MCS によりリスク感応度を計算するもうひとつの方法は、サンプルごとに Payoff 関数を微分し、その微分のサンプル平均を求める方法です。経路ごと（path-wise）に微分(derivative)を求める事からPath-wise derivative 法(以下“PWD”)と呼ばれています。　 

デリバティブズ価格の、パラメータに対する感応度は、価格計算式をそのパラメータで微分した値に相当します。それを式で示した6.159式を再記します。 

\[ \frac {∂P({\bf θ})}{∂θ_k } = N(t_0) \frac {∂}{∂θ_k} E \left[\frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})} \right], ~~~~{\bf θ}={θ_1,…θ_k,…} \tag{6.159} \]

PWD では、この感応度の計算を、上式の右辺にある期待値演算の中身（Payoff のニュメレールとの相対価格）を \(θ_k\) で微分してから、その期待値を求めるものです。すなわち下記式の右辺にある Payoff の、\(θ_k\) に対する偏微分を先にサンプル毎に計算し、そのサンプル平均で感応度を求めようとするものです。 

\[ \begin{align} N(t_0 )∙\frac {∂}{∂θ_k} E \left[\frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})} \right] & = N(t_0 ) E \left[\frac {∂}{∂θ_k} \frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})} \right] \\ & \approx N(t_0 ) \frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac {∂}{∂θ_k} \frac {payoff^{(i)}(T,{\bf θ})}{N^{(i)}(T,{\bf θ})}, \\ & ~~ {\bf θ}={θ_1,…θ_k,…,θ_K } \tag{6.168} \end{align} \]

但し、6.168 式の等式が成立するには、\(\frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})}~が、θ_k\) で、確率１で微分可能であり、かつ積分と微分の順序交換が成立することが条件になります。確率１での微分可能性は、一般的な Payoff 関数で問題になる事はありません。通常の Payoff 関数は、ストライク価格が特異点になり、そこでは微分不可能ですが、確率変数がちょうどストライク価格に到達する確率は 0 です。すると、それ以外のすべて領域では微分可能なので、確率１で微分可能と言えます。さらに 6.168 式の、期待値演算（積分に相当します）と微分の順序交換が成立するためには、\(Payoff(T,{\bf θ})~が~θ_k\) に対して連続である必要があります。例えば、デジタルオプションや、バリアオプションの Payoff 関数は、ストライクあるいはバリア点を除けば確率１で微分可能ですが、バリアを境にPayoffがジャンプするので非連続です。こういった商品では、6.168 式が成立しないので、PWD が使えません。 

次のセクションで、PWD について、具体例を使ってもう少し詳しく説明します。まず、原理を理解する為、シングルファクターの Black-Scholes モデルを使った Caplet の価格感応度を、PWDで導出する方法を説明し、次に、同じ Caplet を、マルチファクターモデルである古典的な LMM を使って、PWDによる感応度の導出方法を説明します。 

 

6.6.7.3.2　  　例１　Black-Scholesモデルによるオプション価格の感応度

シンプルなヨーロピアンオプションであれば Black-Scholes モデルを使った価格式が解析的に求まる他、デルタやベガといった１次の感応度も解析的に求まります。従って、あえてMCSを使って価格計算や感応度計算をする事はありませんが、PWD法を理解するための最初の例として使いたいと思います。 

ここでは、スタート日が \(T_M、エンド日が~T_{M+1}\)（\(T_{M+1}-T_M=δ\) は Libor 期間）のフォワードLibor（\(L_M\)と表記）を対象金利とする Caplet の感応度を、Black-Scholesモデルに従って生成されたサンプル経路を使って、MCS によって求める方法を説明します。ここでは、Caplet の行使日を \(T_M\)、行使レートを K、変化率 Volatility(いわゆるBlack Volatility)をσ 、リスクフリー金利を r、ブラウン運動を w とします。 

Black-Scholes モデルでは、フォワードLibor の微小時間の変化を、下記のような確率微分方程式（SDE）で表現できるのでした。  

\[ dL_M(t)=rL_M(t)dt+σ~L_M(t)dw(t) \]

このSDEに初期値を与えて、オプション行使日における \(L_M(T_M)\) を求めると、以下のようになります。 

\[ L_M(T_M) = L_M(0) e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2\right)T_M+ σ \sqrt{T_M}~z},~~~z \sim~ \mathscr{N}(0,1) \]

この式の z に、コンピューターアルゴリズムで生成された標準正規乱数を代入すれば、\(T_M\) 時における \(L_M(T_M)\) のサンプルが生成できます。標準正規乱数が事象に該当するので、その集合を \({\bf \hat z}=\{ω_1,…,ω_n \}\) と表記し、それを代入した \(L_M(T_M)\) のサンプル値を \(\hat L_M^{(l)} (T_M ),~l=1,…,n\) と表記します。 

\[ \hat L_M^{(l)}(T_M) = L_M(0) e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2 \right) T_M+σ\sqrt{T_M} ω^{(l)}},~~~ l=1,…,n \tag{6.169} \]

ちなみに、\(L_M (T_M )\) の値が、\(L_M (0)\) の値を使って解析的に求まっているので、このサンプル値に離散化バイアスは発生していません。すると、MCS による Caplet 価格は下記式で求まります。バイアスが無いので、\(n→∞\) で、下記式の近似記号 ≈ は等号 ＝ になります。 

\[ Caplet(L_M (0),T_M,K,σ,r) ≈ e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n (\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+ \]

<   デルタ  >

ここから、PWD 法を使ってデルタを求めます。PWD では、Payoff 関数をサンプルごとにパラメータで微分し、そのサンプル平均で感応度を求めるのでした。ここでは、ニュメレールとして \(T_{M+1}\) 満期のゼロクーポン債価格を使い、パラメータを \(L_M (0)\) とします。すると 6.168 式から Caplet 価格の \(L_M(0)\) に対する感応度（いわゆるデルタ）は、下記式で求まります。 

\[ \begin{align} \frac {∂Caplet(L_M(0),T_M,K,σ,r)}{∂ L_M(0)} & = P(0,T_{M+1})∙ E \left[ \frac {∂}{∂L_M(0)} \left( \frac {(\hat L_M(T_M)-K)^+}{P(T_{M+1},T_{M+1})}\right) \right] \\ & =e^{-rT_{M+1}} E \left[ \frac {∂}{∂L_M(0)} (\hat L_M(T_M)-K)^+ \right] \\ & ≈ e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M (0)}, \tag{6.170} \end{align} \]

但し、ゼロクーポン債価格は、\(P(0,T_{M+1})=e^{-rT_{M+1}}、~P(T_{M+1},T_{M+1})=1\) としています。 

さて上の式を使うには、右辺にあるサンプル毎の Payoff 関数の微分を求めなければなりません。その為に、まず Payoff の微分を、連鎖定理を使い、下記のように分解します。 

\[ \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M (0)} = \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M^{(l)}(T_M)} \frac {∂ L_M^{(l)}(T_M)}{∂L_M (0)} \tag{6.171} \]

上の式の右辺の左側の微分 \(\frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M^{(l)}(T_M)}\) ですが、場合分けして求めます。まず \(\hat L_M^{(l)} (T_M ) \gt K\) なら分子は　\(\hat L_M^{(l)}(T_M )-K\) で、\( L_M^{(l)}(T_M)\) で微分すれば 1 になります。一方 \(\hat L_M^{(l)}(T_M ) \lt K\) なら分子は 0 になり、\(L_M(T_M)\) での微分は 0 になります。これを、指示関数を使って下記のように表現します。 

\[ \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M^{(l)}(T_M)} = I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M ) \gt K\}} \tag{6.172} \]

次に、6.171式の右辺の右側の微分 \(\frac {∂ L_M^{(l)}(T_M)}{∂L_M (0)}\) ですが、これは 6.169 式の右辺を \(L_M (0)\) で微分すれば下記式のように簡単に求まります。 

\[ \begin{align} \frac {∂L_M^{(l)}(T_M)}{∂L_M (0)}　 & =\frac {∂}{∂L_M (0)} \left(L_M(0)e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2\right)T_M + σ \sqrt{T_M}~ω^{(l)}} \right) \\ & = e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2\right)T_M + σ \sqrt{T_M} ω^{(l)}} ,~~~~l=1,…,n \tag{6.173} \end{align} \]

さらに、この式の右辺は、下記のように簡略化できます。 

\[ e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2\right)T_M + σ \sqrt{T_M} ω^{(l)}}=\frac {\hat L_M^{(l)}(T_M )}{L_M (0)} \tag{6.173'} \]

最後に、6.172 と 6.173(6.173') 式を、6.170 式に代入すれば、PWD によるデルタが求まります。 

\[ \begin{align} \frac {∂Caplet(∙)}{∂L_M (0)} & ≈ e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M )-K)^+}{∂ L_M (0)} \\ & =e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M) \gt K\}} e^{\left(r-\frac 1 2 σ^2 \right)T_M+σ \sqrt{T_M} ω_l} \\ & =e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M) \gt K\}} \frac {\hat L_M^{(l)}(T_M )}{L_M (0)}, \tag{6.174} \end{align} \]

 

<   ベガ  >

次に、同様のプロセスでベガを求めます。ベガは、Caplet 価格式を Volatility で一階偏微分したものです。6.170 式と同様に、Payoff 関数の σ での偏微分の期待値を導出すると、下記式のようになります。 

\[ \begin{align} \frac {∂Caplet(∙)}{∂ σ} & ≈ P(0,T_{M+1}) E \left[ \frac {∂}{∂σ} \left(\frac {(\hat L_M^{(i)}(T_M) - K)^+}{P(T_{M+1},T_{M+1})}\right) \right] \\ & =e^{-rT_{M+1}} E\left[ \frac {∂}{∂σ} \left(\hat L_M^{(l)}(T_M )-K\right)^+ \right] \\ & =e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n \frac{(∂(\hat L_M^{(l)}(T_M )-K)^+}{∂ σ}, \tag{6.175} \end{align} \]

次に、この右辺にある、サンプル毎のσに対する偏微分を求めます。 

\[ \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ σ} =\frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M^{(l)} (T_M)} \frac {∂ L_M^{(l)}(T_M)}{∂σ} \tag{6.176} \]

右辺にある \(\frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ L_M^{(l)}(T_M)}\) は、すでに 6.172 式で求まっています。また \( \frac {∂ L_M^{(l)}(T_M)}{∂σ} \) は、6.169 式をσで微分すれば下記式のように求まります。 

\[ \begin{align} \frac {∂\hat L_M^{(l)}(T_M)}{∂σ} & = \frac {∂}{∂σ } \left(L_M(0) e^{\left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)T_M+σ \sqrt{T_M} ω^{(l)}}\right) \\ & = L_M (0) e^{\left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)T_M + \sqrt{T_M} ω^{(l)}} \left(-σ T_M+ \sqrt{T_M} ω^{(l)} \right) \\ & = \hat L_M^{(l)}(T_M) \left(-σ T_M+ \sqrt{T_M})ω^{(l)}\right) \tag{6.177} \end{align} \]

6.172　と 6.177 式を 6.175 式に代入すれば、下記式のようなサンプル平均で、Caplet 価格の Volatility への感応度（いわゆるベガ）の近似値が求まります。 

\[ \begin{align} \frac {∂Caplet(∙)}{∂ σ} & ≈ e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n \frac {∂(\hat L_M^{(l)}(T_M)-K)^+}{∂ σ} \\ & = e^{-rT_{M+1}} \frac 1 n \sum_{l=1}^n I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M ) \gt K\}} \hat L_M^{(l)}(T_M) \left(-σT_M + \sqrt{T_M} ω^{(l)}\right) \tag{6.178} \end{align} \]

ちなみに、\(ω^{(l)},~~\hat L_M^{(l)}(T_M) \) は、Caplet 価格を求めるMCS アルゴリズムの中で、すでにサンプル値を求めているはずであり、その値をそのまま使えばいいだけです。 

 

<  デジタルオプションではPWDが使えない理由  >

デジタルオプションでは、ストライク価格（or バリア価格）で Payoff 関数が非連続になる為、“期待値の微分”と“微分の期待値”の順序交換が成立せず、従ってPWD　が使えません。すなわち　6.168の等式が成立しません。 

\[ N(t_0 )∙\frac {∂}{∂θ_k} E \left[\frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})} \right] \neq N(t_0 ) E \left[\frac {∂}{∂θ_k} \frac {payoff(T,{\bf θ})}{N(T,{\bf θ})} \right] \\ \]

これを、Payoff の具体例でみてみればより理解しやすいでしょう。例えば、オプション行使日において、対象資産価格がストライク K を上回っていれば１を支払うデジタルコールオプションで経路ごとのパラメータによる微分を見てみます。このデジタルオプションの Payoff 関数は、指示関数を使って　 

\[ \begin{eqnarray} Payoff(T_M,K)=I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M) \gt K\}} = \begin{cases} \hat L_M^{(l)}(T_M) \geq K & :~~1 \\ \hat L_M^{(l)}(T_M) \lt K & :~~0 \end{cases} \end{eqnarray} \]

と表現できます。右辺の指示関数を、パラメータ \(θ_k\) で微分すると 

\[ \begin{eqnarray} \frac {\partial }{\partial \theta_k} I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M) \gt K\}} = \begin{cases} \hat L_M^{(l)}(T_M) \geq K & :~~0 \\ \hat L_M^{(l)}(T_M) \lt K & :~~0 \end{cases} \end{eqnarray} \]

となります。すなわち、\(Payoff(T_M,K)=I_{\{\hat L_M^{(l)}(T_M) \gt K\}}\) は、一応至る所で微分可能ですが、その微分は常に 0 になります。デジタルオプションのデルタが常に 0 という事はありえず、明らかに間違った計算結果になります。これは Payoff 関数が K点で非連続である事からきています。