上級編 ４． Short Rate Models (後編)
4.5 Affine Term Structure Model
4.5.3 ATSMからゼロクーポン債価格式の導出
さて、ゼロクーポン債価格式の導出に戻ります。先ほど説明したステップに沿って進めます。
(i) まずモデルを再記します。
\[ dr(t)=k(t)(θ(t)-r(t))dt+σ(t) \sqrt {α+βr(t)} dW(t) \]既に説明した通り、係数パラメータは、既に求まっていると仮定します。
(ii) t 時における T 満期のゼロクーポン債価格は、リスク中立測度の下、下記のような式で表現できるのでした。
\[ P(t,T)=E^{Q_{RN}} \left[e^{-\int_t^T r(u)du}\right] \]この式から、ゼロクーポン債価格式は、積分範囲である t と T、及び確率過程 r(t)の関数になっている事がわかります。 これらが変数の未知関数になるので、これを \(u(t,T,r)\) と表記します。
(iii) 5.1 式から伊藤の公式（伊藤のレンマ）を使って、\(u(t,T,r)\) の確率微分方程式を導出すると、次の様になります。
\[ du=\left( \frac {∂u}{∂t}+ k(t)(θ(t)-r(t)) \frac{∂u}{∂r}+ \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) \frac {∂^2 u}{∂r^2}\right)dt + σ(t) \sqrt {α+βr(t)} \frac {∂u}{∂r} dW(t) \tag{5.11} \]この式(u()の確率微分方程式)が意味する所は、ゼロクーポン債価格は微小時間の間に
\[ \begin{align} &平均=\frac{∂u}{∂t}+k(t)(θ(t)-r(t)) \frac {∂u}{∂r}+ \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) \frac {∂^2 u}{∂r^2} \\ &分散=σ(t)^2 (α+βr(t)) \left(\frac{∂u}{∂r}\right)^2 \end{align} \]の割合で確率変動する拡散過程をとる事を意味します。
(iv) ところで、ゼロクーポン債価格の微小時間におけるリターンは、リスク中立測度下ではリスクフリー金利 r(t) に一致します。言い換えると、ゼロクーポン債価格の変動リスクを完全にヘッジしたポートフォリオ全体のリターンは、市場参加者の裁定行動により、リスクフリー金利に収束するという事です。5.11 式の拡散項はブラウン運動による積分なので、その期待値は 0 です。従って u（ ） の微小時間の変化の期待値は 5.11 式のドリフト項だけになります。それがリスクフリー金利に一致するので、
\[ \left(\frac{∂u}{∂t}+k(t)(θ(t)-r(t))\frac{∂u}{∂r}+ \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) \frac{∂^2 u}{∂r^2}\right)dt=r(t) u dt \]という等式が導けます。ちなみに、リスクをヘッジする取引戦略は、5.11式の拡散項の変動を完全に相殺するように働き、かつSelf-Financing Trading Strategyの仮定から、上記偏微分方程式にはその痕跡は残っていません。
さらに両辺にあるdtを消去すると、
という形の偏微分方程式が導出できます。
（大半の文献は、(ii)から(iv)の解析プロセスの説明を飛ばし、5.1式から伊藤のレンマとArbitrage Freeの条件から5.12式が導出できるという説明になっています。この解析プロセスは、非常に重要な考察プロセスなので、あえてはしょらずに説明しました。）
(v) さらに、ゼロクーポン債は満期時 T において、1 (100％)で必ず償還されるので、この偏微分方程式の終期条件として
\[ u(T,T,r(T))=1 \tag{5.13} \]が与えられます。
(vi) ファインマン・カッツの公式から、5.12 式の解は、下記式の右辺の条件付き期待値と一致します。
\[ \begin{align} u(t,T,r(t)) &=E^{Q_{RN}} \left( e^{-\int_t^T r(s)ds} u(T,T,r(T)) ~|~ r(t)=r \right) \\ &=E^{Q_{RN}} \left( e^{-\int_t^T r(s)ds} ~|~ r(t)=r \right) \tag{5.14} \end{align} \]これはまさに、Short Rate Model が前提としている、ゼロクーポン価格と瞬間短期金利の累積リターンとの関係式と同じです。
さあ、あとは 5.12 式が解析的に解けるかどうかですが、“はじめに”で触れたように、ATSM は、それが解析的に解けるようにする為に、わざわざドリフト項と拡散項の２乗を r(t) の Affine関数としたのでした。そうすると、そこで述べた通り、解の関数形が、次の様な r(t) の指数関数の形になると推察できます。
\[ u(t,T,r)=e^{(A(t,T)+B(t,T)r} \tag{5.15} \]こう推定すると、u() の tでの１階微分、r での１階微分、２階微分も、r の指数関数の形のままで、それぞれを 5.12 式に代入すると、うまく式が整理できてしまうのです。それをやってみましょう
u() の関数形を 5.15 式の形になると推定した上で、まず u() の ｔ での一階偏微分は
\[ \begin{align} \frac{∂u}{∂t} = \frac{∂e^{(A(t,T)+B(t,T)r}}{∂t} &=\frac{∂e^A}{∂t} e^{Br} + e^A \frac{∂e^{Br}}{∂t} =\frac{de^A}{dA} \frac{dA}{dt} e^{Br} + e^A \frac{de^{Br}}{dB} \frac{dB}{dt} =e^A \frac{dA}{dt} e^{Br} + e^A e^{Br} \frac{dB}{dt} \\ &=\frac{dA}{dt} e^{A+Br}+r \frac{dB}{dt} e^{A+Br} \tag{5.16} \end{align} \]次にu()のｒでの一階偏微分項は
\[ \begin{align} k(t)(θ(t)-r(t)) \frac{∂u}{∂r} &=k(t)(θ(t)-r(t)) \frac{∂e^{A+Br}}{∂r} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ &=k(t)(θ(t)-r(t))B e^{A+Br} \tag{5.17} \end{align} \]さらにuのｒでの二階偏微分項は、
\[ \begin{align} \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) \frac{∂^2 u}{∂r^2} &= \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) \frac{∂^2 e^{A+Br} }{∂r^2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ &= \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) B^2 e^{A+Br} \tag{5.18} \end{align} \]これら(5.16, 5.17, 5.18式)を、5.12 式に代入すると
\[ \frac{dA}{dt}e^{A+Br} + r\frac{dB}{dt} e^{A+Br} + k(t)(θ(t)-r(t))Be^{A+Br}+ \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t)) B^2 e^{A+Br}=re^{A+Br} \]となります。すべての項に原関数 \(e^{A+Br}\) が含まれているので、両辺をそれで割ります。すると
\[ \frac{dA}{dt} + r \frac{dB}{dt} + k(t)(θ(t)-r(t))B + \frac 1 2 σ(t)^2 (α+βr(t))B^2=r \tag{5.19} \]という t の常微分方程式になります。しかし、当初の未知関数 u() は消えてしまい、A(t,T) と B(t,T) が新たな未知関数の微分方程式になりました。この式をさらに r について整理すると
\[ \left[ \frac{dA}{dt} + k(t)θ(t)B + \frac 1 2 σ(t)^2 αB^2 \right]+\left[\frac{dB}{dt}-k(t)B+1/2 σ(t)^2 β B^2-1\right]r=0 \]となります。
この式がどんなｒについても常に成立しているのは、[ ]内がいずれも 0 の場合だけなので、ここから未知関数を A() と B() とする、連立常微分方程式が導出できます。
\[ \frac{dA}{dt} + k(t)θ(t)B+ \frac 1 2 σ(t)^2 αB^2=0 \tag{5.20} \] \[ \frac{dB}{dt} - k(t)B+ \frac 1 2 σ(t)^2 β B^2=1 ~~~~~~~~ \tag{5.21} \]また、終期条件として、満期時のゼロクーポン債価格が、
\[ e^{A(T,T)+B(T,T)r}=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \tag{5.22} \]となる事から、\(A(T,T)+B(T,T)r=0\) になりますが、これがすべての r について成立するので、
\[ A(T,T)=0,~~~~~B(T,T)=0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \tag{5.23} \]となります。これが、A() と B() の終期条件になります。
あとは、これを解いて A（） と B（) の関数形を求めれば、ゼロクーポン債価格式が導出できます。
(vii) モデルパラメータをすべて定数と仮定した場合のゼロクーポン債価格式
k(t)、θ(t)、σ(t) を、時間の関数のままにすると、解析的に解けるかどうか不明ですが、Piecewise Constantな関数であればRunge-Kutta 法を使えば、数値的に解けます。（但し、解が存在し、かつ一意で求まる為の条件を満たす必要があります。）
これらのパラメータを、定数と仮定し、解析解を求めてみます。解析のプロセスは省略し、結果だけ記します。
\[ \begin{align} P(t,T) & =u(t,T,r(t))=e^{A(t,T)+B(t,T)r(t)} \\ 但し~~~~& A(t,T)=\frac{α(T-t)}{β} + \frac{k(α+β)}{β^2 θ^2} (k+γ)(T-t) -\frac{2k(α+βθ)}{β^2 θ^2} \ln\left(1+\frac{(k+γ)(e^{γ(T-t)-1}}{2γ}\right)-αB \\ & B(t,T)=-\frac{2β(1-e^{-γ(T-t)})}{(k+γ)(1+e^{-γ(T-t)})+ 2γe^{-γ(T-t)}} \\ & γ=\sqrt{k^2+2βσ^2} \tag{5.24} \end{align} \]この式に α=0、β=1 を代入すれば、CIR モデルのゼロクーポン債価格式になります。また α=1、β=0 とすれば、Vasicekモデルのゼロクーポン債価格式になります。
これで、なんとかゼロクーポン債価格式が導出されました。Vasicek モデルでのゼロクーポン債価格式導出過程と比べると、非常に難解な解析プロセスを経ています。また、導出されたゼロクーポン債価格式についても、非常に複雑な形をしており、各パラメータが、イールドカーブの形状にどう作用しているのか、パット見ただけでは理解できません。さらに、θ(t) が定数だと、モデルが Arbitrage Free にならないので、このままではデリバティブズの価格評価には使えません。各パラメータを、Piecewise Constantな関数とみなして導出する方法は、次のセクション以降で解説します。