上級編 ６． Libor Market Model
6.6 モンテカルロシミュレーション
6.6.4 分散減少法 （Variance Reduction Techniques）
6.6.4.2 対称変量法 (Antithetic Sampling Methods)
分散減少法の内、最もシンプルでかつ汎用的な方法は、Antithetic Sampling (対称変量法または対称サンプル法)です。商品特性にほぼ依存せず、アルゴリズムもシンプルなので、おそらく、ほとんどの MCS で使われていると思います。
MCS で使われる、ランダムに生成される標準正規乱数列は、通常は独立同一分布（Independent and Identically Distributed “i.i.d.”）に従うものが使われます。i.i.d.とは、生成される乱数列、\(x_1,~x_2,…,x_n\) がすべて同一の分布関数 \(\phi (x)\) に従いかつ、それぞれが他の乱数の影響を受けない（何等かの相関、あるいは関係性を持たない）独立な乱数であるという意味です。しかし、MCS においては、乱数が同一の分布関数に従う事は必須条件ですが、それぞれが独立である事は、必ずしも必須条件ではありません。Sobol列などの、超一様分布列（Low Discrepancy Sequence）は、始めからすべての生成される乱数列を、確率空間上で出来るだけ一様分布するよううに、あらかじめ決まったアルゴリズムで生成するので、独立とは全くの正反対の方法で生成されます。しかし、数列全体を見れば、望むべき確率分布に従っているので、MCS に使う事ができます（この場合準モンテカルロシミュレーションと呼ばれていますが、数値積分と言った方がいいかもしれません）。
あるi.i.d. な標準正規乱数列 \(x_1,~x_2,…,x_n\) が生成されたとします。標準正規乱数は平均 0 を中心に正負対称なので、\(x_1,~x_2,…,x_n\) の符号を変えた \(-x_1,~-x_2,…,-x_n\) もi.i.d.な標準正規乱数列になります。この２つの乱数列を一緒に MCS に使うのが 対称変量法になります。\(x_1~と~-x_1,~~x_2~と~ -x_2,… \) はそれぞれ -1 の相関を持ち、独立ではないですが、乱数列全体として見れば同じ分布関数に従うので、MCSで使っても問題ありません。しかも、前のセクションで示した通り、標準正規乱数を生成するアルゴリズムは複雑で、相応の計算時間がかかりますが、符号を変える操作は瞬時にできます。ざっくり言って、計算負荷がほぼ同じで、倍の数の乱数を生成できます。さらに、Payoffの関数形によっては、非常に大きな分散低減効果があります。
もう少し掘り下げてみてみます。あるモデルによるブラウン運動で駆動される確率変数（例えば LMM における Libor）があり、その確率変数に依存する関数をy（例えば、デリバティブズの Payoff 関数）とします。標準正規分布する乱数を x とすると、y は x の関数として、\(y(x),~~~~ x \sim \mathcal {N}(0,1)\) と表記できます。MCS において、対称変量法によって生成された標準正規乱数列 を \(x_1,~x_2,…,x_n,\) 及び \( -x_1,~-x_2,…,-x_n\) とし、そこから導出された関数列を \(y_1(x_1),~y_2(x_2),…,y_n (x_n),~ \tilde {y_1}(-x_1),~\tilde {y_2}(-x_2),…, \tilde {y_n}(-x_n)\) とします。すると y のサンプル平均とサンプル分散は下記式のようになります。
\[ y_{average}=\frac {1}{2n} \left(\sum_{i=1}^n y_i(x_i)+\sum_{i=1}^n \tilde {y_i}(-x_i)\right) =\frac 1 2 \sum_{i=1}^n \left(\frac{y_i(x_i)+\tilde {y_i}(-x_i )}{2} \right) \\ y_{var}=Var\left(\frac {y+\tilde {y}}{2}\right)=\frac 1 2 Var (y+\tilde {y} ) =\frac 1 2 Var(y)+ \frac 1 2 Var(\tilde y)+Cov(y,\tilde {y})\\ 但し~~~~~Var(y)=\frac 1 n \sum_{i=1}^n (y_i-y_{average})^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ \]\(y~ と~\tilde {y}\) は同じ確率分布をするので、その分散は一致し、\(y_{var}\) の式は下記のように書き換えられます。
\[ y_{var}=\frac 1 2 Var(y)+ \frac 1 2 Var(\tilde {y})+Cov(y,\tilde {y})=Var(y)+Cov(y,\tilde {y}) \tag{6.85} \]従って右辺第 2 項にある \(Cov(y,\tilde {y})\) により、\(y_{var}\) の値が影響を受けます。式から自明の通り、\(y~と~\tilde {y}\) の相関がマイナスであれば \(Cov(y,\tilde {y}) \lt 0 \) となり、大きな分散低減効果が期待できます。逆に相関がプラスだと、分散逓減効果は減殺されます。相関が 0 であっても、ほぼ同じ計算時間で、分散を約 1/2 にできます。y を、エキゾチックデリバティブズの Payoff 関数とすると、複雑な形状になっている事が予想されますが、単調増加関数あるいは単調減少関数であれば、\(y~と~\tilde {y}\) は負の相関となります。一方、関数形が、平均付近で最小値あるいは最大値を取る偶関数の形に近ければ、相関はプラスとなる可能性があります。ただ、知る限りにおいて、そのような Payoff関数を持つエキゾチックデリバティブズは、極めて限られていると思います。
という事で、この 対称変量法は、MCS を使ったデリバティブズの価格評価の大半で使える分散減少法になり、しかもその分散低減効果は、通常 1/2 以下になります。