上級編 ６． Libor Market Model
6.6 モンテカルロシミュレーション
6.6.7 リスク感応度（Greeks）の計測
6.6.7.4 Likelihood Ratio Method
6.6.7.4.3 マルチファクターモデルでのLRM
前の例は、Caplet のデルタやベガを、Black-Scholes モデルから導出される \(L_M(T_M)\) の確率密度関数を \(L_M(0)~ や~ σ\) で微分して導出しました。実際にこのようなシンプルな商品でこの方法を使う事はありません。実務でこの方法を使う可能性があるのは、確率変数が１個しかなくても、Payoff が経路依存型の商品や（Asian OptionやBarrier Optionなど。これらは価格評価に多数の確率変数値を使います）、バスケットオプションのように、マルチファクターの対数正規モデルを使う商品です。これらの商品でも、モデルから確率変数の同時確率密度関数を解析的に求める事が出来れば、それをパラメータで微分して感応度を導出できます。以下に、マルチファクターモデルでの一般的な LRM の方法を解説します。
m 次元の確率変数のベクトル \(\bf x\) が、平均 \(\bf a(θ)\) 分散が \(\bf Σ(θ)\) の正規分布をするとした場合、\(\bf x\) の同時確率密度関数は 下記式で表されます。
\[ g({\bf x,θ})= \frac {1}{\sqrt{2π} \sqrt{{\bf|Σ(θ)|}}} \exp\left[- \frac 1 2 {\bf (x-a(θ))^{\top}Σ(θ)^{-1} (x-a(θ))}\right] \tag{6.199} \]但し、\(\bf a(θ)\) は m 次元のベクトル、\(\bf Σ(θ)\) は m×m 次の共分散行列で、いずれも何等かのパラメータベクトル \(\bf θ\) の関数になっていると仮定します。 また、\(\bf Σ(θ)\) は、式を見て分かる通り、逆行列を導出できる必要があり、従って正則行列でなければなりません。 \(g({\bf x,θ})~は、{\bf a(θ)}~や~ \bf Σ(θ)\) を通じて、パラメータベクトル \(\bf θ\) の関数になっています。
ここから \(g({\bf x,θ})\) の、パラメータ \(θ_k∈\bf θ\) に対する偏微分を求め、さらにそこから \(\frac {g'({\bf x,θ})}{g({\bf x,θ})}\) を求めます。まず、\(θ_k\) がドリフト項のパラメータとなっている場合、すなわち \( {\bf a(θ) } = {\bf a} (…,θ_k,…) \) となっている場合、\( \frac {g'({\bf x,θ})}{g({\bf x,θ})}\) は以下のようになります。（解析のプロセスは省略します）
\[ \frac {∂g({\bf x, a(θ),\Sigma })/∂θ_k}{g({\bf x, a(θ),\Sigma})} =(x-a({\bf θ}))^{\top} Σ^{-1} \frac {∂a({\bf θ})}{∂θ_k} \tag{6.200} \]式中の \(\frac {∂a({\bf θ})}{∂θ_k}\) は微分形式のまま表現していますが、通常 \(\bf a(θ)\) は、\(\bf θ\) に対する単純な１次形式で表現されるので、微分は容易に解ける前提です。
さらに、確率変数ベクトル ｘ が正規分布するので、現時点からみた x(T) は、標準正規乱数ベクトル Z を使って
\[ {\bf x(T)=a(θ)+A∙z},~~~~~但し {\bf z ~ \sim \mathscr{N} (0,1),~~~A∙A^{\top}=Σ} \]と表現できます。これを 6.200 式に代入すれば
\[ \frac {∂g({\bf x, a(θ),\Sigma })/∂θ_k}{g({\bf x, a(θ),\Sigma})} ={\bf z^{\top} A^{-1}}~\frac {∂{\bf a(θ)}}{∂θ_k} \tag{6.201} \]となります。\(\frac {∂g({\bf x, a(θ),\Sigma })/∂θ_k}{g({\bf x, a(θ),\Sigma})}\) が求まったので、 あとはこれを下記式に代入し、右辺の期待値演算を、サンプル平均で求めれば、デリバティブズ価格の \(θ_k\) に対する感応度になります。
\[ \frac {∂}{∂θ_k} E\left[ \frac {Payoff(L_M(T_M))}{Numeraire(T_M)} \right] ＝E \left[\frac {Payoff(L_M(T_M))}{Numeraire(T_M)} × {\bf z^{\top} A^{-1}}~\frac {∂{\bf a(θ)}}{∂θ_k}\right] \tag{6.202} \]ベガについても、パラメータ \(θ_k\) が共分散行列のパラメータになっていれば（確率密度関数が\(g(\bf x,a,Σ(θ_k))\)の形の時）、それの偏微分を使って導出する事が出来ます。手順はデルタと同じなので、説明は省略します。
これが、マルチファクターモデルにおける、一般的な LRM による感応度の導出方法です。導出プロセスは、前のセクションで説明した１ファクターの Black-Scholes モデルの場合と全く同じですが、マルチファクターモデルでは、同時確率密度関数を使った計算になるので、複雑に見えます。