基礎編 ４． オプション
4.1 オプションの価格をどうやって決めるか？
4.1.3 オプションモデルは確率過程を特定すること
確率過程が判ればオプション価格が必ず求まると極論しましたが、それをどのように想定するかが実は、簡単ではありません。様々なオプションモデルが研究され発表されてきましたが、本質的にはこの部分での格闘であったと言えます。
経済学では“モデル”という言葉がよく使われます。企業や個人の経済行動は、多種多様なファクターの影響を受けるので、それらをすべて正確に予測するのは不可能です。従って、その中で主要なファクターだけに注目して、それを数式で表現したものを “モデル”と呼んでいます。“簡略化したもの”という意味合いで、プラモデルのモデルと同じです。物理学の世界では、物理量の変化を数式で表現したものを“～の法則”のように呼んでいます。物理量は、ほぼ間違いなく、その数式通りに変化するので“法則”と呼んでいいのでしょう。
しかし、経済の分野では経済現象を記述する数式は、あくまで簡略化したモデルであり、法則ではありません。経済現象が正確にその通りに動く訳では無いからです。そして、金融工学においてオプション価格を求める為にモデル化されている経済現象は、株価や為替レートや金利などの将来に渡る確率過程です。
様々なモデルが提唱されているのは、それぞれに利点と欠点があるからです。実際の経済現象を、完璧では無いにしても、できるだけ近い姿で表現できたモデル（数式）が、必ずしも良いモデルとは限りません。経済モデルの場合、経済量に変化をもたらすファクターをできるだけ多くモデルに取り込めば、より経済実態に近いモデルが記述できそうな気がします。しかし、精緻にするつもりで、ファクターを多くし過ぎると、Over-specificationの問題が発生し、かえって予測精度を落とすことになります。また、ファクターが増えれば計算時間がよりかかります。計算時間がかかりすぎると、実務では使えない可能性があります。さらに、オプションの価格計算の前提となる確率過程のモデルに限って言えば、そういった多くのファクターをきちんとヘッジできるのかという問題も発生します。金融工学の言い方をすれば、「オプション価格の確率変動を完全にReplicate（複製）できる取引戦略が存在するかどうか」という事です。ヘッジができなければ、オプション価格計算の根本となる前提が崩れることになります。 この点は非常に重要で、その意味するところを、セクション４．２で説明します。
良いモデルとは、できるだけ少ないファクターで、経済現象をできるだけ正確に表現・予測できるものと言えるでしょう。さらに、オプション価格計算で使われるモデルでは、ファクターがきちんとヘッジできるかどうかも非常に重要です。
金融工学の世界でモデル化されているのは、金融商品の価格が将来に渡って変動していく様子（確率過程）と述べました。そして冒頭に、その確率過程さえ判れば、オプションの価格は必ず計算できるとも述べました。
多くのモデルで前提とされている、不確実性を持つ金融商品（X）の確率過程は、ほとんど下記の式で表現されます。（あえて離散時間で表現しています）
\[ \Delta X=\mu (t,X,,,)\Delta t+\sigma (t,X,,,)\Delta W \]これは、金融商品Xの価格が\(\Delta t\) の間に、平均\( \mu (\bullet)\)、標準偏差\(\sigma(\bullet )\) の正規分布に従うという事を表現しています。\(\Delta W\) はWiener過程の微小時間の変化で、不確実性を表現する値です。もう少し金融工学的な表現を使うと、\(\mu (t,X,,,)\Delta t\) をドリフト項、\(\sigma (t,X,,,)\Delta W\) を拡散項と呼び、確率過程は
\[ 確率変数Xの微小時間での変動＝ドリフト項+拡散項 \]と表現されます。
係数\(\mu(\bullet)\) と\(\sigma (\bullet)\) を、時間や確率変数X やその他のパラメータの関数とみなしていますが、その関数の態様をどう表現するかで、様々なモデルのバリエーションが生まれます。冒頭で述べたように、この式が特定できれば、すなわち\(\mu(\bullet)\) と\(\sigma (\bullet)\) の関数（あるいは定数）が特定できれば、難解な解析を使わなくとも、先ほどのシミュレーションによる期待値計算で、どのようなオプションの価格も求める事ができます。
金融工学の難解な部分は、シミュレーションを使わずに、この確率過程の式から確率解析のテクニックを駆使して、解析的に期待値を求めようとする部分や、解析解が求まらない場合に、様々なテクニックを使って、できるだけ素早く数値的に期待値を計算するテクニックの部分です。