基礎編 ６． クレジットデリバティブズ
6.3 クレジットデフォールトスワップの価格計算方法
6.3.3 ISDA Standard Model
6.3.3.2 イールドカーブの構築方法
最初に、ISDA Standard Model によるイールドカーブの構築方法を解説します。
イールドカーブは、ベンチマークとなるリスクフリー金利の指標から、Bootstrapping-Interpolation のアルゴリズムを使って構築します。リスクフリー金利は、かつて Libor を基準としたベンチマーク商品を使っていましたが、現在では、主要通貨ごとに、リスクフリーと看做されているオーバーナイト金利を対象としたスワップ金利（Overnight Index Swap：“OIS”）を使っています。
さて、その Bootstrapping-Interpolation アルゴリズムですが、ISDA Standard Model では、各 Pillarポイントにおける Discount Factor の対数を線形補間 する Interpolation法を使っています（注：詳しくは“上級編1.1.2.1. Discount Factorの対数の線形補間”参照）。各 Pillarポイントの時間を \(t_i\), そのポイントでのゼロクーポン金利（スポット金利）を \(r_i\) とすると、その Pillarポイントでの Discount Factorは、次の式で表せます。
\[ D(t_i)=e^{-r_i t_i},~~~ i=0,…,n,~~~t_0=0,~~~D(t_0)=1 \]これの対数（すなわち\(-r_i t_i\)）を取って、\([t_i,t_{i+1}]\) のPillar間で線形補間するので、ゼロクーポン金利を期間加重した値を線形補間している事になります。それを式で表すと、下記式のようになります。
\[ \begin{align} \ln e^{-r_t τ} & = \ln e^{-r_{i-1} t_{i-1} } \frac{(t_i-τ)}{Δt_i}+ \ln e^{-r_i t_i} \frac{(τ-t_{i-1})}{Δt_i} \\ & =\frac{-r_{i-1}t_{i-1} (t_i-τ) - r_i t_i (τ-t_{i-1})}{Δt_i},~~~~ i=1,…,n \\ & 但し~~~~ τ~ は~ [t_{i-1},t_i]~間の任意の時間で~~~ Δt_i=t_i-t_{i-1} \end{align} \]ここから、\(\tau\) 時の Discount Factor は
\[ D(τ)=\exp\left[\frac{-r_{i-1}t_{i-1} (t_i-τ) - r_i t_i (τ-t_{i-1})}{Δt_i}\right] \]となります。
さて、ここでゼロクーポン金利と、Discount Factorと瞬間フォワード金利f(t)の関係式を見てみましょう。（詳しくは 基礎編 2.4.3 Discount FactorとZero Coupon RateとForward Rateの関係 参照） それは、
\[ DiscountFactor(τ)=e^{-r_t τ}=e^{-r_{i-1} t_{i-1}} e^{-\int_{t_{i-1}}^τ f(t)dt} \]となるので、この線形補間法を使うと、\(-r_t τ\) は t に対して区間ごとに直線になります。それは即ち、\(-\int_{t_{i-1}}^τ f(t)dt~ が~ [t_{i-1},t_i]\) 間で直線になる事を意味します。積分の結果が直線になるのは、被積分関数が定数の場合なので、\([t_{i-1},t_i]\) 間で瞬間フォワード金利 \(f(t)\) は一定である事を意味します。その値を \(f_i\) と置くと、Discount Factor の式は、下記のように表わせます。
\[ DiscountFactor(τ)=e^{-r_t τ}=e^{-r_{i-1} t_{i-1}} e^{-\int_{t_{i-1}}^τ f(t)dt}= e^{-r_{i-1} t_{i-1} } e^{-f_i (τ-t_{i-1})} \]これを使えば、CDS 価格式で使われていた積分計算の中にあった被積分関数 \(D(t)\) が \(e^{-r_{i-1} t_{i-1} } e^{-f_i (τ-t_{i-1})}\) と、\(\tau\) に関するシンプルな指数関数になり、積分が解析可能になります。実際にどうなるかは、次のクレジットカーブからサバイバル確率とデフォールト強度を求めた後、それと合わせて説明します。