基礎編 ６． クレジットデリバティブズ
6.3 クレジットデフォールトスワップの価格計算方法
6.3.3 ISDA Standard Model
6.3.3.5 Premiuym Leg の経過利息部分の期待値計算
CDS の Premium Leg の価格式の中にあった、経過利息相当額の期待値計算の式を再記します。デフォールト強度λは、区間内で定数(piecewise constant)なので、各区間の \(λ~を~λ_i\) と表記しています。
\[ \sum_{i=1}^n \left(c \int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1})D(τ) λ_i e^{-λ_i τ} dτ\right) \]この積分計算も先ほどと同じ要領で解析的に解けます。部分積分の公式を使う必要があり、若干ややこしいので、途中は省略し、結果のみ示します。
\[ \begin{align} \sum_{i=1}^n & \left(c \int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1})D(τ) λ_i e^{-λ_i τ} dτ\right) \\ & =c×\sum_{i=1}^n \int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1})D_{i-1} e^{-f_i (τ-t_{i-1})} \mathbb{Q}_{i-1} λ_i e^{-λ_i (τ-t_{i-1})}dτ \\ & =c×\sum_{i=1}^n \left(D_{i-1} \mathbb{Q}_{i-1} λ_i \int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1})×e^{-(f_i+λ_i)(τ-t_{i-})} dτ\right) \\ & =c×\sum_{i=1}^n \left[ \frac{Δt_i λ_i}{f_i+λ_i} \left( \frac{D_{i-1} \mathbb{Q}_{i-1}-D_i Q_i}{f_i+λ_i }-D_i Q_i \right) \right] \end{align} \]この式にある、\(D_i、\mathbb{Q}_i、f_i、λ_i\) は、すべてイールドカーブとクレジットカーブ構築の際に求まっているので、それを使えば右辺の計算は簡単に行えます。
また、式中で \(f_i+λ_i\) で割っている項があるので、これが 0 にならないような（仮に 0 になった場合は、微小な数字を足して、計算を成立させるようなプログラムを作って）対応する必要があります。
6.3.3.6 ISDA Standard Modelによる CDS の価格式
最後に、解析的に求めたProtection Legの価値と、Premium Legの価値をCDSの式に代入すると下記のようになります。
\[ \begin{align} CDS~~ Value & =0.6\int_0^T D(τ)λe^{-λτ} dτ - \sum_{i=1}^n c \left[Δt_i e^{-λt_i} D(t_i)+\int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1}) D(τ) λe^{-λτ} dτ\right] \\ & = 0.6×\sum_{i=0}^n \left(λ_i \frac{D_{i-1}\mathbb{Q}_{i-1} - D_i \mathbb{Q}_i}{(f_i+λ_i)}\right) \\ & ~~~~~ - c×\sum_{i=1}^n \left[ \frac{Δt_i λ_i}{f_i+λ_i} \left( \frac{D_{i-1} \mathbb{Q}_{i-1}-D_i Q_i}{f_i+λ_i }-D_i Q_i \right) \right] \end{align} \]すでに述べた通り、式中にある \(D_k,~ \mathbb{Q}_k,~ f_i,~ λ_i\) はすべてイールドカーブとクレジットカーブから求める事ができるので、価格は、それらを代入すれば求まります。