上級編 ２． オプション評価法とArbitrage Pricing Theory
2.2 資産価格付けの基本定理
Fundamental Theory of Asset Pricing (Arbitrage Pricing Theory)
2.2.3 Fundamental Theory of Asset Pricing の論理構成
ここではHarrison-KrepsやHarrison-Pliskaの論文で使われているTerminologyを使って説明します。
2.2.3.1 Securities Market Model：証券市場モデル
まず、証券市場を、不確実な価格変動を起こす証券の価格（あるいはレート）が形成する確率空間\( （\Omega,{\scr F}_t,P）\) と考えます。
この確率空間上で、K+1 個の証券の価格が確率変動していくと仮定します。それを下記のようにベクトル表示します。
\[ {\bf S}(t)= {S^0 (t),S^1 (t),…,S^K (t)} \]この内、\( S^0 (t)\) は、リスクフリーな Money Market Account で、リスクフリー金利 r （ここでは定数と見做します）のリターンをもたらすものとします。従って、\( S^0 (t)=S^0 (0) e^{rt}\)。t=0 時点の \(S^0 (0)\) の価格を１と置くと、t 時の価格は \(S^0 (t)=e^{rt}\) となります。またその逆数は \( 1/(S^0 (t) )=e^{-rt}=D(t)\) となり、t 時の Discount Factor が導出できます。
それ以外の証券の価格は、\({\scr F}_t\) 可測な確率変数と考えます。
証券価格のランダムな動きをモデル化する方法は、２項モデルのように離散時間で、各時間における状態変数の遷移先を有限な数に限定する方法や、Black-Scholesモデルのように、連続時間で連続なブラウン運動を使う方法、さらにブラウン運動にジャンプを伴う方法などがあります。Fundamental Theory of Asset Pricing に関する文献では、離散時間で事象の数も有限とする場合と、連続時間で連続な価格過程を取る場合とに分けて行っていますが、私の知る限りジャンプを伴う確率過程での証明は行われていないと思います。おそらくジャンプが伴うと、Contingent Claim の Payoff を完全に Replicate できる取引戦略が構築出来ないと思います。残念ながら私には数学的にそれを証明する力を持ち合わせていませんが、オプションやクレジットデリバティブズのトレーディングをした際、それが非常に困難であった事を経験しています。
仮に、\({\scr F}_t\) がブラウン運動により、生成され、各確率変数が、次の様な確率過程をとるとします。
\[ {\bf dS} = \boldsymbol \mu (t,{\bf S},,,)dt+\boldsymbol \sigma (t,{\bf S},,,) {\bf dW} \]\({\bf dW}\) は K 次元ブラウン運動で、各\({\bf dW}^k,\ \ k=1,2,…,K\) は独立と仮定します。
この確率過程の内、\( \boldsymbol \mu (t,{\bf S},,,)\) については市場参加者ごとに異なり、客観的に一意に特定できません。この値は、通常リスクフリー金利にリスクプレミアムが加わった値と見做されていますが、リスクプレミアムは個々の市場参加者によって異なり得るからです。従って、この確率過程が生成する\({\scr F}_t\) については、起こり得る事象が何かについては、市場参加者で一致しています。しかし、確率測度 P につては、市場参加者毎に異なり、客観的に特定できません。各市場参加者が予想する P の集合を \(\mathbb P\) とすると、それに含まれる各\( P\in \mathbb P\) はそれぞれ異なりますが、同値な確率測度になります。しかしこの基本定理により、Contingent Claimの期待値計算では、この自然な確率測度 P を使う必要が無いので、特にどういうものか特定する必要もありません。
この市場で取引されるContingent Claim はすべて、対象資産が\(\bf S\) で、Payoff が行使時の証券の価格 \({\bf S}(T)\) に依存するとします。一個の株を対象とするContingent Claim であれば、\(\bf S\) の個数は、\(S^0 と S^1\) だけになります。バスケットオプションであれば、\(\bf S\) は複数となり、金利オプションであれば、\(\bf S\) が無限次元のベクトルになると考えられます。いずれにしても、この市場で取引されるContingent Claim の価格は、市場で取引されている証券 \(\bf S\) の価格（あるいはレート）に依存することになります。そうすると、Contingent Claim 自体も同じ確率空間上の確率変数となり、その価格過程は、\({\scr F}_t\) 可測になります。
2.2.3.2 Self-Financing Trading Strategy： 取引戦略
取引戦略は、前のセクションで定義した証券市場モデル上（確率空間上）で取引される K個の証券 \(S^k,\ k=1,2,…,K\) と、リスクフリー金利のリターンをもたらす Money Market Account \(S^0\) に対する資金配分の組合せで、かつ、それを一定の期間、情報 \({\scr F}_t\) にあわせて組み替えていく一連の取引です。その投資配分割合は、ｔ 時に判明している情報 \({\scr F}_t\) に基づいて決定します。それを \(\boldsymbol \phi_t = \{ ϕ_t^0,ϕ_t^1,…,ϕ_t^K \}\) と表示すると、各 \(\phi_t^k\)は k 証券に対する投資単位になり、\(\phi_t^k\times S_t^k\) が投資額になります。証券市場モデルはロングもショートも自由にとれるので、各 \(\phi_t^k\) はプラスにもマイナスにもなります。\(\phi^0\) のマイナスは、資金の借入れを意味します。
戦略全体の投資額を \(V_t(\boldsymbol \phi_t)\) とおくと、この値は下記式で表現できます。
\[ V_t (\boldsymbol \phi_t )=\sum_{k=0}^K \phi_t^k S_t^k \]但し、金額は、現実には無限大の値を取れないで、それを数学的にも \(\phi\) の制約条件として設定すべきでしょう。式で表現すると、任意の正の実数を a とおき、\(|\phi_t^k S_t^k |\lt a, \ for\ all\ k=0,1,…,K\) となるでしょう。
市場参加者は、ｔ 時に決めたポジション \(\phi_t\) を次の事象が発生するまで持ち続け、次の事象が発生した瞬間に S が変動し、それにより損益が発生します。ｔ から次の事象が発生した時刻を t+dt とし、その間の証券市場の価格変化を \(dS_t\) とすると、その間に発生する損益(G)は次の様に表現できます。
\[ G_{t+dt}(\boldsymbol \phi)=\boldsymbol \phi_t ({\bf S}_{t+dt}-{\bf S}_t)=\sum_{k=0}^K \phi_t^k dS_t^k \]ここで、新たな情報 \({\scr F}_{t+dt}\) に基づいて、新たなポジションの配分 \(\boldsymbol \phi_{t+dt}\) に変更します。その際、取引コスト 0 で瞬時にそれが可能と仮定します。この新たな配分方法は、\({\scr F}_{t+dt}\) の情報次第で事前にどのような配分をするか決まっています。このような過程を可予測過程とよびます。その際、外部から新たな資金を入れたり、あるいは資金を外部に流出させたりしません。その時点のポジション総額の中で、新たな投資配分を決めます。すなわち
\[ V_{t+dt}(\boldsymbol \phi)=V_t(\boldsymbol \phi)+G_{t+dt}(\boldsymbol \phi) =\sum_{k=0}^K \phi_t^k S_{t+dt}^k =\sum_{k=0}^K \phi_{t+dt}^k S_{t+dt}^k \]となります。このような取引戦略をSelf-Financing Strategy と呼んでいます。
この呼称に若干まぎらわしい点があります。\(\phi_t^0 S_t^0\) をマイナスにすれば、それは借入を意味するので、証券市場モデルに含まれる Money Market Account（：＝\(S^0\)） からの借入れは可能です。ここでのSelf-Financing Strategy は、借入を許されたクローズドエンド型の投資信託と同じようなものと理解すべきでしょう。すなわち、設定時の投資元本のみで運用し、満期まで追加出資や一部解約による元本償還が無いものの、ファンドが借入を行い、レバレッジをかけて追加投資する（あるいは、証券のショートポジションで手に入れた現金を、\(S^0\) で運用する）事は可能です。
\(V_t({\bf \phi, S}) も G_t({\bf \phi,S})\) も、その値は確率変数 \( \bf S\) の関数になるので、これらも同じ確率空間上の確率変数になります。文献では、それぞれの価格過程を Value Process、Gain Process と呼んでいます。ポートフォリオ全体の価値は、下記式のように変動します。
\[ V_{t+dt}(\boldsymbol \phi)=V_t(\boldsymbol \phi)+G_{t+dt}(\boldsymbol \phi) =V_t(\boldsymbol \phi)+\boldsymbol \phi_t({\bf S_{t+dt}-S_t}) =V_t(\boldsymbol \phi)+\boldsymbol \phi_t {\bf dS_t} \]この取引戦略を ｔ＝0 時から T 時まで継続した場合、T 時における取引戦略の価値は下記式で表せます。
\[ V_T(\boldsymbol \phi)=V_0(\boldsymbol \phi)+\int_0^T G_t(\boldsymbol \phi)dt =V_0(\boldsymbol \phi)+\int_0^T \boldsymbol \phi_t {\bf dS_t} \]右辺の積分は伊藤積分となり、それが可能になる条件として、\( \boldsymbol \phi_t \in \scr L^2 (\bf S)\) という制約をかける必要があります。
2.2.3.3 Arbitrage Free
証券市場モデルにおいて、ある Self-Financing の投資戦略を取った時に、その投資戦略とリスクフリー金利で運用する Money Market Account との相対価格を考えます。すなわち、その相対価格を \(V_t^*(\boldsymbol \phi) \) とおくと
\[ V_t^*(\boldsymbol \phi)=V_t(\boldsymbol \phi)/{\bf S_t^0} =V_t(\boldsymbol \phi)/e^{rt} =e^{-rt}V_t(\boldsymbol \phi)=D(t)V_t(\boldsymbol \phi) \]となります。そして、この投資戦略 \(V_t^*(\boldsymbol \phi) \) が、初期投資額が 0 で、必ず 0 以上のリターンをもたらし、かつそれが真に正の確率が 0 以上の場合、アービトラージ可能と呼びます。式で表現すると
\[ V_t^*(\boldsymbol \phi)=0,\ \ P(V_t^*(\boldsymbol \phi)≥0)=1,\ \ P(V_t^*(\boldsymbol \phi)>0)>0 \]となります。
逆に、そういった投資戦略が存在しない場合、Arbitrage Free と呼びます。（初期投資額＝0 と言っても、\(\phi^0 S^0\) をマイナスにして、すなわちMoney Market Accountからの借入を行って、その他の証券のロングポジションを作れるので、実際にはどのような証券のポジションも構築可能です。）
例えば、リスクフリー金利が １％の時、現物の株式インデックスの価格が １００ で、1年後決済のインデックス先物が １０２ で取引されていたとします。そうすると、まず資金市場から １００ だけ金利 １％ で借入れ、その資金で現物株式インデックスを １００ で購入し、ヘッジとしてインデックス先物を １０２ で売っておきます。借入も、\(S^0\) 資産へのマイナスの投資と見做せるので、この投資戦略の t=0 の価値は 0 になります。（先物の売りに必要な証拠金は、借入で賄いますが、証拠金にもリスクフリー金利が付利されるので、ここでは無視します。） そうすると、株式インデックスの現物買いと先物売りのポジションから ２％ のリターンが、リスクゼロで確定しており、一方で支払い金利も −１％ で確定しており、当初投資額 ０ で、１年後に +１ のリターンが確実に得られることになります。これがアービトラージ可能の状態です。
市場参加者は、これを裁定機会と見做し、現物買い、先物売りのポジションを積み上げ、最終的に価格差が１に収束していき、もはや裁定取引の機会が無くなります。これが Arbitrage Free の状態です。
裁定機会は、同じリスク（確率変数）を源泉とする２つの商品の価格差から発生します。これは、片方の商品の不確実性を、もう片方の商品の不確実性と完全に相殺させ、リスクフリーの状況を作り出せるからです。逆に、リスクの源泉が異なる証券同士では、仮にリスクファクター間に相関があったとしても、相関係数が 1 か −1 でない限り不可能です。基本定理に関する文献では、この説明があまり為されていないので、念のために付け加えました。