実務で使える金融工学　基礎編

基礎編　５．　リスク量の計測

5.2 Sensitivities（感応度）の計測

5.2.2 線形リスク

5.2.2.2　Sensitivitiesの計測

Sensitivitiesの計測は、殆どのリスクファクターにおいて、それ程難しいものではありません。 

株式や為替レートのように、金融商品の市場価格が、直接市場で観測されている場合は、極めてシンプルです。金融商品の価格を、モデルを使って計算する場合でも、Black-Scholesの公式のように、価格式が解析的に求まっている場合は、簡単に計算できます。より複雑なオプションで、数値解析で価格を求める場合でも、計算時間を気にしなければ、リスクファクターを少しずらして価格計算を2回あるいは3回行い、１階差分や2階差分を計算すれば求まります。その場合、計算時間を短縮する為の、様々な計算テクニックもあります。 

しかし金利オプションのように、モデルVolatilityを市場データにCalibrationする必要がある場合は、かなりやっかいです。モデルVolatilityに対するSensitivitiesの計測はそれ程難しくありませんが、Calibrationの対象となる市場Volatilityに対する感応度計算は、工夫が必要です。金利オプションの場合には、Calibrationの際、市場で観測されるVolatility カーブやVolatilityキューブを滑らかにする手順が含まれます。市場データは、決してスムーズではないからです。そうすると、差分を計算する為に市場データを摂動させても、スムーズ化されてしまい、その影響が価格変化にダイレクトにつながらないからです。この辺りは、金利オプションモデル自体をきっちり理解しておく必要があるので、ここでの説明は避けたいと思います。 

< 価格が市場リスクファクターの場合 >

為替や株の現物ポジション（Cash Positionという呼び方をします。Cashは現金ではなく現物の意味です）から発生するSensitivitiesの計測は簡単です。ポジション額に価格の変化率を掛けた値がそのまま損益になるので、リミットの設定などはポジション額自体に設定する事で十分です。 

< 金利が市場リスクファクターの場合 > 

債券の現物（Cash Bonds）については、ポジション額ではなく、金利に対する債券価格の感応度でリスク量を計測するのが一般的です。債券については、価格ではなく金利を市場リスクファクターと考えるのが一般的だからです。金利スワップなど、金利関連のデリバティブズも同様です。債券価格の金利変化に対する感応度は、債券の期間に依存し、期間が長いほど感応度は大きくなります。 

債券については、かつてデュレーションと呼ばれるリスク指標が使われていました（スワップが登場する頃まではこれが主流でしたし、今でもこのリスク指標を使っている金融機関は多数あると思います）。デュレーションとは、債券のクーポンと元本キャッシュフローの期間加重平均の事です。このデュレーションを(1＋利回り)で割った値を、修正デュレーション（Modified Duration）と呼び、この値が金利の微小変化率に対する価格変化率（債券価格の金利に対する微分）に相当します。まず、債券の利回りを使った価格式は、一般的に下記のようになります。 

\[ BondPrice(y)=\sum_{i=1}^n CashFlow_i\times (1+y/m)^{-mT_i}　\hspace{50mm}　　　　　\\ 但し　CashFlow_i は各キャッシュフローで、元本を1として計算、T_iはキャッシュフローの発生期間\\ y　は債券の最終利回り、m　はクーポンの支払回数/年 \hspace{70mm} \]

この価格式を利回り(上記式のｙ)で微分した値が修正デュレーションになります。

\[ Modified Duration=\frac{dBondPrice(y)}{dy}=-\frac{\sum_{i=1}^n CashFlow_i\times T_i}{Dirty Price×(1+y/m)}\hspace{30mm} \]

上の式で分かる通り、債券価格式をyで微分すると、マイナスが付きます。これは、金利の動く方向と債券価格が動く方向が逆向き（金利が上がると価格が下がる）だからです。 

Modified Durationが、金利の微小変化に対する”価格”の変化を表すのに対し、金利の微小な変化幅（1bp）に対する”損益”の変化額を表すリスク指標がBasis Point Value（BPV）と呼ばれるリスク量です。同じく債券価格の式を使うと、次の様になります。 

\[ BPV(y)=\sum_{i=1}^n CashFlow_i\times (1+(y+0.01\% )/m)^{-mT_i}-\sum_{i=1}^n CashFlow_i\times (1+y/m)^{-mT_i} \]

Modified Durationは価格式の金利に対する"微分"で、BPVは金利1bpの変化に対するポジション額の"差分"という微妙な違いはあるものの、両者とも、金利に対する感応度を別の方法で表現しているだけです。従って、下記式を使ってお互いに換算可能です。 

\[ (Notional×Price×Modified Duration)×0.0001\approx BPV \]

左辺のカッコ内はDollar Durationと呼ばれており、この値に金利の変化幅を掛けた値が実際の損益変動額になります。その金利の変化幅を1bp(0.0001)にすればBPV（DV01:Dollar Value per basis pointとも呼ばれています）となります。 

債券だけのポジションのリスク量計測であれば、この値を使うので十分だと思います。但し、計算で使われている債券の価格式は、内部収益率を使った計算方法なので、金利の期間構造が勘案されていません。 

< 金利の期間構造に対するSensitivitiesの計測 > 

　金利の期間構造を勘案して、イールドカーブの特定の時点の金利だけを1bp動かして、それに対する価格の感応度を計算した値をPartial Basis Point Value（Partial BPV）と呼び、金利リスクの計測方法として実務で一般的に使われている手法です。PartialはPartial Derivative（偏微分）の意味で、価格計算式で使われるDiscount Factorを、イールドカーブのPillar毎の金利を変数とする多変数の関数とみなし、各変数に対する偏微分を計算したものです。 

金融商品の価格式を再度下記します。 

\[ PV of Financial Instruments　=\sum CashFlow_i(T_i) \times Probability(CashFlow_i)\times DiscountFactor(r(T_i)) \]

この式は金利の期間構造を勘案しており、各\(r(T_i)\) は期間\(T_i\) に対応したゼロクーポン金利です。この式から各\(r(T_i)\) (すなわちZero Coupon Rate)を個別に1bp だけ動かして損益インパクトを計算する事も可能ですが、実務では一般的ではありません。理由は、ポートフォリオに含まれる多数の金融商品のキャッシュフロー発生日はまちまちで、何百、何千もある将来の\(T_i\) すべてについてSensitivitiesの計測をする事になるからです。また、それらはParカーブから合成された観念的な金利であり、実際に取引きされている商品ではないので、ヘッジに使えません。 

通常は、イールドカーブを構築する為に使った金利のPillar、例えば1カ月、3か月…1年、2年、…5年、10年、といった節目の期間に対応するPar Curveの金利を1bpだけ動かします。　そして金利の期間構造を再構築して、再構築後のDiscount Factorを使って上の価格式を再計算し、Par Curveの各Pillarの金利に対するPartial BPVを計算します。 

上の式の\(DiscountFactor(r(T_i))\) は、イールドカーブから計算されるので、イールドカーブ構築のベースとなったPar Curveの金利を変数とする関数とみなせます。それに合わせた表記にすると 

\[ DiscountFactor(r(T_i))=DiscountFactor(r(T_i,R_1,R_2,…,R_n)) \]

但し、\(R_1,R_2,…,R_n\) はイールドカーブ構築に使われた市場実勢金利で、イールドカーブのPillar、\(T_1,T_2,…,T_n\)　に対応する金利で、例えばLIBOR金利やスワップ金利を表す。 

そうすると、金融商品の価格自体が\(R_1,R_2,…,R_n\) を変数とする多変数関数とみなせます。その関数を\(PV(…,R_1,R_2,…, R_n)\) と表現すると、\(PV()\)の金利に対する感応度は以下のように表現できます。 

\[ dPV(…,R_1,R_2,…,R_n)=\frac{\partial PV()}{\partial R_1}dR_1+\frac{\partial PV()}{\partial R_2}dR_2,…,+\frac{\partial PV()}{\partial R_n}dR_n=\sum_{i=1}^n \frac{\partial PV()}{\partial R_i}dR_i \]

右辺の各項は、PVの各\(R_i\) に対する偏微分ですが、これを\(\Delta R_i=1bp\)として計算された差分がPartial BPVになります。具体的には、イールドカーブ構築のベースとなるPillarことの金利を、一か所だけ1bp動かしてイールドカーブを再構築し、その再構築されたカーブを使って、商品価格を再計算します。価格変化が求まれば損益インパクトも算出できるので、それがPartial BPVになります。それを、各Pillarで繰り返す事で、すべての\(R_i\) に対応するPartial BPVが求まります。 

この方法は、実務でも広く使われていますが、ひとつだけ問題があります。Par Curveの特定のPillarのレートを動かすと、BootstrappingとInterpolationのアルゴリズムの関係から、カーブ全体のゼロクーポンレートが影響を受け、動きます。一本のPar Rateが、光のスペクトル分解のように、ゼロクーポンカーブ全体の動きに変換されます。（Par Rateを動かしたPillar近辺が一番大きく変化し、他のPillarの変化は僅かですが）　イールドカーブ構築の説明の所で、数々のInterpolationの方法がある中で、この問題を指摘しています。ある一点のPar Rateの変動が、イールドカーブ全体に影響を及ぼしますが、その影響度合いが、Interpolationの方法の優劣の、ひとつの判断基準になっています。 

金融商品の価格式からわかる通り、Fixed Incomeのカテゴリー以外の商品であっても、金利の影響を受けます。例えば、株のオプションの場合、Black-Scholesモデルではリスクフリー金利を定数と仮定しているものの、実際には日々動いています。オプションの満期が長い場合、相当程度、金利リスクの影響を受けるので、金利に対するSensitivitiesを計測する必要があります。Black-Scholesの公式では、リスクフリー金利について、とくに期間構造を指定していませんが、実務では、オプションのExpiry時点に対応するゼロクーポンレートを使います。また、そのレートは政府債カーブではなく、LIBOR-Swapカーブから導出されたものを使います。従って、上記のPartial BPVの計測方法と同じ方法で、金利リスクに対するSensitivityが計測できます。次に説明するオプションから発生する線形リスクの計測方法では、Black-Scholesの公式のように解析的に式が求まる場合は、その式を金利rで微分した値もSensitivityとして使えます。但し、この場合のrは、オプション満期日と同じ期日のゼロクーポンレートに相当するものであり、その元となったLIBORやSwap金利に対するSensitivityではありません。