基礎編 ３． スワップ
3.5 金利スワップの時価評価
3.5.2 Annuity と Discount Factor と スワップ金利 の関係
Annuityとは、一定金額を定期的に支払うキャッシュフローの事です。年金の支払いが典型的な例で、Annuityは年金とも訳されますが、金利スワップにおける固定金利キャッシュフローも一種のAnnuityと見做せます。
仮に、各クーポン支払日 \(T_1^{Fix}\lt T_2^{Fix}\lt ,…,\lt T_{m-1}^{Fix}\lt T_m^{Fix} \) に１単位の現金を支払うキャッシュフローがあるとすると、その現在価値は、前のセクションの固定金利キャッシュフローの現在価値を計算する式（左辺の第1項）で\(Ｃ＝Ｋ=１\) と置いたものになります。
すなわち
すなわちAnnuityの価格は、各クーポン支払日のDiscount Factorをクーポン期間で加重した値の合計と見做せます。
一方、変動金利\( L_j (T_{j-1}^{Float},T_j^{Float})\) は、LIBOR-Swap Curveを使った生成したゼロクーポン債の価格で表現できます。現時点t からみた、\(T_j\) 満期のゼロクーポン債の価格を \(P(t,T_j )=P(T_j)\) とおくと、
\[ L_j (T_{j-1}^{Float},T_j^{Float})=\frac{P(T_{j-1}^{Float})-P(T_j^{Float})}{\tau_j^{Float}\times P(T_j^{Float})} \]となります。これを、変動金利キャッシュフローの現在価値の式に代入すると
\[ \small \sum_{j=1}^{n} \frac{P(T_{j-1}^{Float})-P(T_j^{Float})}{\tau_j^{Float}\times P(T_j^{Float})} \times \tau_j^{Float} \times DiscountFactor(r(T_j^{Float})) \hspace{80mm} \\ \small =\frac{P(T_0^{Float})-P(T_1^{Float})}{P(T_1^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_1^{Float}))+ \frac{P(T_1^{Float})-P(T_2^{Float})}{P(T_2^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_2^{Float}))+, \\ \small ..., +\frac{P(T_{n-1}^{Float})-P(T_n^{Float})}{P(T_n^{Float})}\times DiscountFactor(r(T_n^{Float})) \hspace{60mm} \]ここでリーマン以前のLIBOR・Swapカーブ時代に戻って、\(DiscountFactor(r(T_i))\) を、LIBOR-Swap Curveを使って導出してみます。すると、\(DiscountFactor(r(T_j^{Float}))=P(T_j^{Float})\) となり、上の式の右辺は、級数の途中がすべて相殺されて、\(P(T_0^{Float})-P(T_n^{Float})\) となります。 AnnuityのDiscount Factorも、LIBOR-Swap Curveを使ったゼロクーポン債価格と考えると、金利スワップの価格式は次の様に書き換えられます。
\[ K\times Annuity-(P(T_0)-P(T_n))=0 \hspace{50mm} \] \[ 但し T_0=T_0^{Float}=T_0^{Fix}, T_n=T_n^{Float}=T_m^{Fix} \hspace{30mm} \]この式を書き換えると
\[ Par Swap Rate=K=\frac{P(T_0)-P(T_n)}{Annuity}=\frac{P(T_0)-P(T_n)}{\sum_{i=1}^m \tau_i^{Fix} \times P(T_i)} \]となります。
すなわち、Discount Curve（割引債価格のカーブ）から、任意のスタート日とエンド日を決めれば、その期間に対応するPar Swap Rateを導出できるという事です。先日付スタートのPar Swap Rateを計算する際に、よく使われる式です。