実務で使える金融工学　上級編

ここで Hull-White モデルとの差が表れます。対数正規モデルでは、拡散係数 と、フィッティングパラメータが、お互いに依存関係にあるので、イールドカーブをフィットさせる度に、拡散係数が動きます。あるいは、拡散係数を Calibration する度に、イールドカーブに再フィットさせる必要があります。多変量の Solver を使えば、何とかなりそうですが、アルゴリズムが相当複雑化し、計算結果が収束しないリスクがあります。その為、少し簡略化したアルゴリズムが、Andersen-Piterbarg の本などで、紹介されています。さらに、ゼロクーポン債価格の解析解が求まらない事から、Tree の最終期日は、対象資産のキャッシュフロー発生日すべてをカバーする必要があります。 

主要先進国で、超低金利や、マイナス金利が常態化した現在、対数正規型の Short Rate Model を、そのままの形で使っている所は無いと思います。実務で使われる見込みの無いモデルで、複雑な Calibration アルゴリズムを説明するのは苦痛なので、Tree 構築アルゴリズムの詳細は説明しません。参考に、Hull-White モデルと比較して、複雑になる部分を列挙しておきます。 

• Treeの最終期日は、オプション行使日ではなく、対象商品の最終期日まで構築する必要がある。
• オプション行使により発生する対象資産のキャッシュフローが複数ある場合（Swaption の場合）、オプション行使日からそのキャッシュフロー日まで、すべてのキャッシュフロー用に Tree を構築する必要がある。
• Bermudan Option であれば、行使日は複数存在するが、そのすべての行使日における、すべての対象商品のキャッシュフロー期日までの Tree を構築する必要がある。
• ベンチマーク商品となるシンプルなヨーロピアンオプションであっても、数値解で価格を計算する必要があり、Calibration で余計に時間がかかる。
• 拡散係数がr（t）に依存するため、VolatilityをCalibrationする際、都度中心回帰レベルへのフィッティングをやり直す必要がある。あるいは、その逆も。その結果、Calibrationアルゴリズムが複雑化し、相当時間がかかることになる。
• 中心回帰レベルへのフィッティングは、時間軸を t＝0 からスタートしノード毎に時間軸を前に進みながらゼロクーポン債価格を、当初カーブに一致するよう求めていきます。フィッティングは、Solver を使って計算するので、各ノードで複数回（2～5回）、ゼロクーポン債価格を計算する必要があります。各ノードでのゼロクーポン債価格の計算は、そのノードから Treeを遡及して t＝0 時の価格を求めるので、各ノードで、Solverを使った複数回の遡及計算を、全のノードで行う必要があります。計算時間のオーダーは、時間軸のステップ数を N、各時間軸での状態変数のグリッド数を M、Solverによる再計算の回数を m とすると、\( {\oldstyle O}（Ｎ^2Ｍｍ）\) となり、相当時間がかかる事になります。

有限差分法を使えば、上記の手間のうち、いくつかは省略できます。例えば、対象商品の最終期日まで、有限差分グリッドを作ってしまえば、それ以前のキャッシュフローすべてに対応できます。従って、実務の世界では、有限差分法を使っているところが大半ではないかと思います。有限差分法については、どこかでアルゴリズムについて詳細に解説したいと思いますので、ここでの解説は省略させていただきます。 

という事で、対数正規モデルの解説はここまでです。Hull-Whiteモデルのセクションと比べると、大分簡単に済ませましたが、解析解を求めるプロセスの説明が不要な事と、実務では、もはや殆ど使われていないので、この程度でご容赦下さい。