上級編 ４． Short Rate Models
4.4 Hull-White モデル
4.4.2 モデルから r(t) および ゼロクーポン債価格（の分布）を導出
θ(t) の導出過程の説明が長くなりましたが、次のステップにすすみます。
モデルで、未だ特定されていないのが、中心回帰強度 \(a(t)~と~Volatility~~ σ_r(t)\) の関数になります。これらは、実際には、値を Calibration で求めますが、通常 Piecewise Constant な関数と仮定されます。これは3項Treeや有限差分法などにおいて、離散化した時間軸毎に定数を割り当てる為です。ここでは、解析プロセスをわかり易くする為、それぞれすべての時間で共通の定数 \(a,~σ_r~\)と置き、これらのパラメータも既に与えられたと仮定します。
一応これで、モデルが特定されました。
モデル（瞬間短期金利の確率微分方程式）が特定されたので、そこから t 時の瞬間短期金利 \(r(t)\) （の分布）と、t 時のゼロクーポン債価格 P(t,T) （の分布）を導出します。これも、Vasicek モデルでの解析プロセスと同じように、求めていきます。(John-Hull “Technical Note No.31, Option future and Other Derivatives”を参考にしています。)
Vasicek モデルでは \(dr(t)\) を積分して瞬間短期金利 \(r(t)\) を求めましたが、ここでは、前のセクションで \(θ(t)\) を求める過程の中で、\(r(t)\) を先に求めていたので、それを使います。その式は下記のような形でした。（4.14及び4.15式を再記）
\[ \begin{align} r(t) &=f(0,t) +\int_0^t \left(e^{-\int_u^t a(s)ds} σ_r (u) \int_u^t e^{-∫_u^s a(τ)dτ} σ_r (s) ds\right)du +\int_0^t e^{-∫_u^t a(s)ds} σ_r(u) dW(u) \\ & =f(0,t) +e^{-\int_0^t a(s)ds} \int_0^t \left( \left(e^{\int_0^u a(s)ds} σ_r(u)\right)^2 \int_u^t e^{-∫_u^s a(τ)dτ} ds \right)du \\ &~~~~~~+e^{-\int_0^t a(s)ds} \int_0^t e^{\int_0^u a(s)ds} σ_r (u)dW(u) \tag{4.14} \\ \end{align} \]あるいは、g(t)とh(T)の表現を使うと
\[ r(t)=f(0,t)+h(t) \int_0^t g(u)^2 \int_u^t h(s)ds~ du+h(t) \int_0^t g(u)dW(u) \tag{4.15} \]先ほど、\(a,~~σ_r\)は定数と置いたので、上記の式の積分が一部計算できます。その結果
\[ r(t)=f(0,t)+e^{-at}∫_0^t e^{2au} σ_r^2 ∫_u^t e^{-as} ds~du +e^{-at}∫_0^t e^{au} σ_r(u)dW(u) \tag{4.18} \]ここからさらに、\(r(t)\) を t から T まで積分すれば、t 時における T 満期ゼロクーポン債のトータルリターンになります。解析プロセスは省略しますが、結果は下記のようになります。
\[ \begin{align} ∫_t^T r(t)dt& =-\ln \frac{P(0,T)}{P(0,t)} +\frac{σ_r^2}{4a^3} \left[e^{-2a(T-t)}-e^{-2aT}-1+e^{-2at}-4e^{-a(T-t)}+4e^{-aT}+4-4e^{-at} \right] \\ & +\frac{σ_r (e^{-aT}-e^{-at})}{a} ∫_0^t e^{au} dW(u) \tag{4.19} \\ \end{align} \]この値を (T-t) で割れば、年率表示のゼロクーポン債利回りとなります。また、この値の符号をマイナスにして指数を取れば、ゼロクーポン債価格になります。
上式の右辺の最後の項に伊藤積分が残っています。この項は、4.18式を使って、r(t)の式に変換できて
\[ \frac{σ_r (e^{-aT}-e^{-at})}{a} ∫_0^t e^{au}dW(u)=\frac{(e^{-aT}-e^{-at})}{a} \left[-r(t) e^{at}+f(0,t) e^{at}+\frac{σ_r^2}{a^2} (e^{at}-1)-\frac{σ_r^2}{2a^2} (e^{at}-e^{-at} )\right] \]となります。これを 4.19 式に代入すると、
\[ \begin{align} ∫_t^T r(t)dt & =-\ln \frac{P(0,T)}{P(0,t)} +\frac{σ_r^2}{4a^3} \left[e^{-2a(T-t)}-e^{-2aT}-1+e^{-2at}-4e^{-a(T-t)} +4e^{-aT}+4-4e^{-at} \right] \\ & +\frac{(e^{-aT}-e^{-at})}{a} \left[-r(t) e^{at}+f(0,t) e^{at}+\frac{σ_r^2}{a^2} (e^{at}-1)-\frac{σ_r^2}{2a^2} (e^{at}-e^{-at}) \right] \tag{4.20} \\ \end{align} \]非常に長ったらしい関数形ですが、右辺から伊藤積分の項が消え、\(A(t,T) + B(t,T)×r(t)~ という~r(t)\) のAffine関数（１次関数）の形になっています。すなわち、t→T 間の瞬間短期金利での運用の累計リターンは \(r(t)\) の Affine 関数で表現できました。
また、ゼロクーポン債価格の式は、下記のように \(r(t)\) の指数関数として表現できます。
\[ \begin{align} &P(t,T)=e^{-∫_t^T r(t)dt}=A(t,T) e^{-B(t,T)r(t)} \tag{4.21} \\ &但し \\ &B(t,T)=\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a} \\ &A(t,T)=\frac{P(0,T)}{P(0,t)} \exp\left[f(0,t)B(t,T)-\frac{σ_r^2 (e^{-aT}-e^{-at})^2(e^{2at}-1)}{4a^3 }\right] \end{align} \]これで、瞬間短期金利 \(r(t)\) から t 時のゼロカーブと Discount Curve が描けました。