上級編 ６． Libor Market Model
6.6 モンテカルロシミュレーション
6.6.7 リスク感応度（Greeks）の計測
6.6.7.4 Likelihood Ratio Method
6.6.7.4.4 LRM によるアジアンオプションのデルタの計算
以上の方法で、経路依存型の商品の感応度の計算方法を解説します。例として対象資産が 1 個（以下 \(S（t）\) と表記）のアジアンオプションの感応度（ここではデルタ）を導出してみます。アジアンオプションは、対象資産価格を、行使日以前の一定期間観測し、その平均を使って Payoff を計算するものです。一定期間として、ｍ 個の観測日を指定し、それを \(t_1,…,t_m\) （\(t_m\) ＝オプション行使日とします)と表記します。また、その期間の対象資産価格を、\(S(t_1),…,S(t_m)\) とすると、Payoff 関数は下記式のようになります（ここではAsian Call OptionのPayoffを例として使っています）。
\[ Payoff\left(S(t_1 ),…,S(t_m ),K\right) =\left[ \frac 1 m \sum_{i=1}^m S(t_i) -K \right]^+, \]モデル化された確率変数は 1 個であっても、離散化した経路上の値を、それぞれ別個の確率変数とみなすと、1本の経路の確率密度は、それらの同時確率密度関数で表現できます。 仮に \(S(t_i)\) が Black-Scholes モデルに従った確率過程を取るとすると、離散時間で分割された時間軸上の \(S(t_i), i=1,...,m\) の対数 \(\lnS(t_i)\) の値は、モデルから下記式で、求まります。
\[ \ln S(t_i)=\ln S(t_{i-1}) + \left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)Δt+σ\sqrt{Δt}~z_i \\ ~~~~~ Δt=t_i-t_{i-1}, ~~~~~ z_i ~\sim \mathscr{N}(0,1),~~~~~ i=1,…,m \tag{6.203} \]\(\ln S(t_i)\) は、ブラウン運動で駆動されているマルコフ過程なので、確率変数の増分 \(\ln S(t_i)- \ln S(t_{i-1})\) は、それ以前の情報からは独立な正規分布をする確率変数と看做せます。その増分の値を \(x_i\) と置くと、\(x_i\) は 6.203 式から、下記のように求まります。
\[ \ln S(t_i)- \ln S(t_{i-1})≡x_i=\left(r-\frac 1 2 σ^2 \right)Δt+σ\sqrt{Δt}~z_i,~~~~~i=1,…,m \]時間軸上の \(x_i\) 全体をベクトル \(\bf x\) で表記し、そのベクトルの平均と分散を下記のように表記します。但し、\(x_1\) のみは差分 \(\ln S(t_1)-\ln S(0)\) ではなく、\(\lnS(t_1)\) の値をそのまま確率変数としています。それにより、\(\lnS(0)\) がドリフト項のパラメータになるようにしています。
\[ {\bf x}=\left[ \matrix{ \ln S(t_1) \\ \ln S(t_2)-\ln S(t_1) \\ \vdots \\ \ln S(t_m) - \ln S(t_{m-1}) } \right], ~~~~~ {\bf a(θ_k)}=\left[ \matrix{ \ln S(0)+\left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)Δt \\ \left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)Δt \\ \vdots \\ \left(r- \frac 1 2 σ^2 \right)Δt } \right], \] \[ {\bf Σ}=\left[ \matrix{σ^2Δt& 0 & \dots & 0 \\ 0 & σ^2Δt & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & σ^2Δt } \right] ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \]これらを使えば、x の同時密度関数が 6.199 式で表現できます。
その確率密度関数を \(\theta_k\) で微分し、\( \frac {∂ g({\bf x,a(θ_k),Σ})/∂θ_k}{g({\bf x,a(θ_k),Σ})}\) を求めれば、LRM による \(θ_k\) の感応度を求める事ができます。
例えば \(θ_k\) として、\(S(0)\) を選択すると
\[ \begin{align} \frac {g'({\bf x,a}(S(0)),{\bf Σ})}{g({\bf x,a}(S(0)),{\bf Σ})} & =\left({\bf x-a}(S(0))\right)^{\top} {\bf Σ^{-1}} \frac {∂a(S(0))}{∂S(0)} =\left({\bf x-a}(S(0))\right)^{\top} {\bf Σ^{-1}} \left[\matrix{1/S(0) \\ 0 \\ \vdots \\ 0} \right] \\ & =\frac {\ln S(t_1)-\ln S(0)-(r- \frac 1 2 σ^2)t_1}{S_o σ^2 Δt}= \frac {z_1}{S_0 σ \sqrt{Δt}} \end{align} \] \[\tag{6.204}\] \[ AsianCall~Δ = E \left[ \frac {Payoff}{Numeraire} \frac {g'(x,a(S(0)),Σ))}{g(x,a(S(0)),Σ)}\right] =E \left[ \frac {Payoff}{Numeraire} \frac {z_1}{S_0 σ \sqrt{Δt}}\right ] \tag{6.205} \]となり、最後の式の右辺の期待値演算を、サンプル平均を使って求めれば、Asian Optionの \(S(0)\) に対する感応度(デルタ)の推定値になります。ここで、この式から気づく事を一点指摘します。6.205 式にある \(\frac {z_1}{S_0 σ \sqrt{Δt}}\) は、\(\sqrt{Δt}\) の大きさに反比例します。すると \(\sqrt{Δt}\) をどんどん小さくしていくと、サンプル値の分散が大きくなり、推定誤差が大きくなります。アジアンオプションで、平均価格を決める為の最初の価格までの観測期間が、あまりに短い場合は、注意が必要です。
6.6.7.4.5 LRM によるバスケットオプションのデルタの計算
バスケットオプションは、対象資産として複数の証券を選択し、その Payoff 関数は、それらの平均価格とストライク価格との差で求めるオプションです。各証券の確率過程を、Black-Scholes モデルで記述し、ドリフト項ベクトルと、共分散行列が特定できれば、それらの同時密度関数が解析的に求まり、さらにそれを微分してLRM による感応度計算ができます。
ｍ 個の対象証券価格を \({\bf S(t)}=\{S_1(t),S_2(t),…,S_m(t)\}\) と表記し、それらが Black-Scholes モデルに従った確率過程をとるとすると、その SDE は
\[ dS_i(t)=r~S_i(t)~dt+σ_i~S_i(t)~dw_i(t),~~~~~i=1,…,m, \]と記述できます。すると各 \(S_i(t)\) は幾何ブラウンをし、一定期間後の分布は対数正規分布をします。それらの対数を確率変数のベクトル ｘ と表記します。それらの、ドリフト項ベクトルと共分散行列がそれぞれ
\[ {\bf a(θ)}=\{a_1(θ_1),a_2(θ_2),…,a_m(θ_m)\},~~~~~~~~~~\\ {\bf Σ}=\left[\matrix{σ_{11}& \dots & σ_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ σ_{m1} & \dots & σ_{mm} }\right], ~~~~~ σ_{ij}=σ_i~ σ_j~ ρ_{ij} \]で求まっているとします。すると、x の同時確率密度関数は、やはり 6.199 式のようになります。 6.199 式を \(θ_k\) で微分し、\(\frac{g'({\bf x,a(θ_k),Σ})}{g({\bf x,a(θ_k ),Σ})}\) を導出すれば、これまでの例と同様に、LRM による感応度の計算が出来ます。手順は、全く同じなので、これ以上の説明は省略します。