実務で使える金融工学 基礎編
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イントロダクション
基礎編 ６． クレジットデリバティブズ
6.1 イントロダクション
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目次
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基礎編
キャッシュフローと金利
キャッシュフロー
金融商品の価格
リスクフリー金利
複利（Compounding）
連続複利(Continuous Compounding)と瞬間短期金利(Instantaneous Spot Rate)
内部収益率（Internal Rate of Return）
金利の期間構造
イントロダクション
イールドカーブ
LIBOR金利の分断化
同質な商品
LIBOR-SWAPカーブ
Overnight Index Swap
OISスプレッドの拡大
LIBOR金利の分断化 つづき
裁定機会？
OISスプレッド拡大の理由
Multi-Curve対応
Par Curveに内包する金利の期間構造
Par CurveからDiscount CurveとForward Curveを導出
Bootstrapping
Discount FactorとZero Coupon RateとForward Rateの関係
イールドカーブの構築方 法（１） パラメトリック法
イントロダクション
Nelson Siegel
Svensson
イールドカーブの構築方法（２）： Bootstrapping + Interpolation 法
イントロダクション
データソースの決定
時価評価基準日の決定
Pillarの決定
アルゴリズム
データソースにLIBORを選択
データソースに金利先物 FRAを追加/a>
データソースに金利スワップを追加
Market Convention（取引慣行）
Interpolationの方法の優劣
まとめ
スワップ
イントロダクション
スワップ取引の誕生と成長
イントロダクション
最初のスワップ取引（IBM VS World Bank）
スワップ取引の経済的メリット（１）
スワップ取引の経済的メリット（２）
スペキュレーションのニーズ
弊害
ハイリスク商品の過剰販売
会計操作で悪用
弊害 つづき
巨額のポジションで身動きが取れなくなる
複雑な商品の取引・管理能力不足
サブプライムショックとリーマンショック
サブプライムショックからリーマンショックへ
デリバティブズ市場の構造的問題
オフバランスシート取引によるリスクの増幅、巨大化
取引相手方のリスクがトレーディング勘定に積みあがる
デリバティブズ市場の構造的問題 つづき
Margin Callによる負のスパイラルとリスクの伝搬
モデルへの過信
リーマンショック後の規制強化
金利スワップの時価評価
Forwarding CurveとDiscounting Curveと時価評価
AnnuityとDiscount Factorとスワップ金利の関係
オプション
オプションの価格をどうやって決めるか？
期待値の計算
デジタルオプションの価格計算方法
オプションモデルは確率過程を特定すること
ドリフト項の係数と拡散項の係数の特定
モデルの優劣
デルタヘッジ戦略
事例：トヨタ株を使ったオプション取引
デルタヘッジ取引戦略
デルタヘッジ取引戦略による損益シミュレーション
Black-Scholesモデルの解説
モデルについて
確率過程のモデルからヨーロピアンオプション価格式の導出
追加の説明
Black-Scholesのオプション価格式を別の方法で求める
リスク量の計測
イントロダクション
Sensitivitiesの計測
イントロダクション
線形リスク
市場リスクファクター
Sensitivitiesの計測
オプションから発生する線形リスクの計測
非線形リスク
非線形リスクの計測
非線形リスクのコントロール
非線形リスク つづき
やっかいな非線形リスク
やっかいな非線形リスクのコントロール
さらにやっかいな非線形リスクのコントロール
市場リスクファクター以外のリスク
マクロ的なリスク指標
Value at Risk
VARの問題点
Expected Shortfall
ストレステストとシナリオ分析
計測できないリスク(未定稿）
クレジットデリバティブズ
イントロダクション
クレジットデフォールトスワップ
基本的な契約形態
契約書の定義の統一
契約の標準化
CDSの価格計算方法
CDSの価格計算式
Reduced Form Model
ISDA Standard Model
ISDA Standard Model
イールドカーブの構築
クレジットカーブの構築
Protection Legの期待値
Premiuym Legの期待値
ISDA ModelでのCDSの価格式
クレジットカーブの構築
ベンチマーク商品の価格
クレジットカーブの構築
上級編
イールドカーブ
イントロダクション
Interpolation
Interpolation法の種類と特徴
Linear Interpolation
Linear on Log of Discount Factor
Linear on Log of Zero Rate
Piecewise Linear Continuous (Instantaneous) Forward
Quadratic Splines（2次Spline関数）
Cubic Splines(3次Spline関数)
イントロダクション
Bessel(Hermite) Cubic Spline法
2階微分可能なCubic Spline法
Monotone Preserving Cubic Spline法
Tension Spline法
イントロダクション
Exponential Tension Spline
Exponential Tension SplineのOptimal Fitting
基底関数を使った関数形と、係数の求め方
Forward Monotone Convex Splines
イントロダクション
Interpolatorの関数形
単調性（Monotonicity）の調整
マイナス金利にならないように修正
さらなる修正
ｆ（ｔ）からZero Coupon Rateの導出
Minimalist Quadratic Interpolator
Turn of Year （期末越えレート）
Multi-Curve対応
イントロダクション
Forecasting CurveとDiscounting Curve
Multi-Curve対応の必要性
Multi-Curve対応の正当化
Multi-Curve対応から発生する課題
Multi-Curvesの構築方法
イントロダクション
カレンシーベーシススワップのMulti-Curve構築
OISベーシススワップのMulti-Curve構築
CSAがある場合のカレンシースワップのケース
Multi-CurvesにおけるSensitivitiesの計測 （未定稿）
オプション価格評価とArbitrage Pricing Theory
基礎編 「オプション」 のレビュー
資産価格付けの基本定理
はじめに
資産価格付けの基本定理とは
資産価格付けの基本定理の論理構成
Securities Market Model：証券市場モデル
Self-Financing Trading Strategy： 取引戦略
Arbitrage Free
AttainableなContingent Claim
Attainableとなる具体的な取引戦略
ニュメレールと同値マルチンゲール測度
再び基本定理に戻る
基本的な金利オプション
はじめに
Black Model:ブラック モデル
モデル
BlackモデルからBlackの公式を導出
モデルの特定
モデルから、確率変数の分布を導出
Payoffの期待値の計算
Caplet価格式の導出
Swaptionへの援用
BlackモデルのSwaptionへの援用
金利スワップの、Discount Factorによる関数表現
Swaption価格式の導出
Multi-Curve対応の場合のAnnuityファクター A(t)について
Cash-Settled Swaption
Short Rate Model
はじめに
Short Rate Modelの概観
Short Rate Modelのベースとなる考え方
瞬間短期金利の確率過程
SRMに要求される表現力
オプション価格式の導出プロセス
Vasicek モデル
はじめに
Vasicek モデルの仮定
r(t)を求める
r(t)を積分し t 時のイールドカーブを描く
オプション価格式の導出
Hull-White モデル
はじめに
モデルの特定
HJMフレームワーク下で、ｒ（ｔ）の確率過程がnon-Markovになる件について
ゼロクーポン債価格の導出
ヨーロピアンオプションの価格式
パラメータの Calibration
Trinomial Tree の構築
Introduction
r(t) からの変数変換について
３項ツリー構築のアルゴリズム
３項ツリー構築のアルゴリズム（続き）
バーミューダン・スワップションの価格計算
バーミューダン・スワップションの価格計算（続き）
３項ツリーを使った、パラメータの Calibration
寄り道 期待値演算の方法について
はじめに
３種類の期待値導出方法
一般的な期待値の導出方法
ファインマン・カッツの公式を使った期待値の導出方法
フーリエ変換を使った期待値の導出方法
Short Rate Model (後編)
Affine Term Structure Model
はじめに
モデル
ゼロクーポン債価格式の導出
パラメータをPiecewise Constantな関数とした場合のゼロクーポン債価格式
中心回帰レベルパラメータの設定
まとめ
対数正規 Short Rate Models
はじめに
モデル
対数正規モデルの問題点
数値解の導出方法
マルコフ汎関数モデル
はじめに
異色なオプションモデル
ニュメレールと同値マルチンゲール測度
マルコフ汎関数モデルの概要
ニュメレール価格の確率分布の導出法
アルゴリズムの概要
市場価格を使ったデジタルオプション価格の導出
MFM を使ったデジタルオプション価格の導出
フォワードスワップ金利からニュメレール価格を導出
ニュメレール価格の確率分布を求めるアルゴリズム
\(T_n~と^T_{n-1}\) のニュメレール価格の分布を求める
\(T_{n-2}~から~T_1\) まで導出
当初イールドカーブとの整合性
Smile Curve の Interpolation-Extrapolation
Libor Market Model
イントロダクション
イントロダクション
同値マルチンゲール測度と測度変換の公式
資産価格付けの基本定理
ニュメレールとの相対価格と同値マルチンゲール測度
測度変換の公式の導出（Brigo-Mercurio）
証券市場全体の確率過程
同値な確率測度間のラドン・ニコディム微分
ラドン・ニコディム微分の確率過程（ニュメレールの相対価格から）
ラドン・ニコディム微分の確率過程（ギルザノフの定理から）
測度変換の公式
古典的な Libor Market Model
はじめに
フォワード LIBOR の期間構造の設定
モデル
ドリフト項の導出
コンベクシティー アービトラージ
スポット Libor 測度とターミナル測度
古典的なLMMの拡散項係数（Volatility関数）
はじめに
Volatility 関数の関数形
Volatilityの期間構造
Volatilityの期間構造の時間の経過による変化
Volatility の期間構造の推移とは
Rebonato の公式
Swaption 価格から導出
Volatility 関数の関数形
Libor 間の相関の構造
はじめに
相関データの求め方
相関行列の補正
相関行列のイメージ
Calibration
はじめに
LMM を使ったオプション価格の解析解の導出
Calibration アルゴリズム
モンテカルロシミュレーション
はじめに
LMMでMCSを行う際の課題
LMMの具体化
乱数の生成にかかる時間
推定誤差
離散化バイアス
アメリカン・バーミューダン タイプへの対応
価格感応度（Greeks）の計算
乱数の生成方法
一様乱数の生成
一様乱数を標準正規乱数へ変換
Low Discrepancy Sequence
確率変数の数値積分
Discrepancy の定義
ファンデルコルプト数列
ソボル列
分散減少法
分散減少法の概要
対称変量法
制御変量法
層別サンプリング法
層別サンプリング法の概要
層別のサンプリング抽出法
層別の条件付き期待値と、その確率加重平均
層別サンプリング法による推定誤差低減効果
マルチファクターブラウン運動の層別化
重点サンプリング法
離散化バイアス
はじめに
オイラースキームと離散化バイアス
２次のオーダーでの近似スキーム
Richardson-Extrapolation
変数変換
離散時間内でのイベント発生への対応
アメリカンタイプのオプションへの対応
はじめに
Random Tree Method
Random Tree Method の概要
アルゴリズム
バイアス
計算負荷の軽減方法
Parametric Stopping Rule
行使境界曲線
行使境界曲線を求めるアルゴリズム
Stochastic Mesh Method
はじめに
アルゴリズム
Likelihood Ratio（尤度比）
バイアス
Least Square Monte-Carlo
アルゴリズム
基底関数
回帰分析
バイアス
Stochastic Mesh Methodへの応用
リスク感応度（Greeks）の計測
はじめに
有限差分近似（Finite difference approximation）
Path-Wise Derivative("PWD")
Path-Wise Derivative 法の概要
例１ Black-Scholesモデルを使った PWD 法
例２ LMM を使った PWD 法の概要
例２ LMM を使った PWD 法の概要(つづき)
ガンマの計測
Liklihood Ratio Method
Liklihood Ratio Method（"LRM"） とは
例 Black-Scholesモデルを使った LRM
マルチファクターモデルを使った LRM
LRM によるアジアンオプションのデルタ計算
LRM によるバスケットオプションのデルタの計算
LMM で LRMを使う方法
ガンマの計測
Local Vol. と Stochastic Vol. Models
イントロダクション
Local Vol. Models
モデル形
CEV モデル
Displaced Diffusion Model
より複雑なモデル形
より複雑なskew関数を持つモデル
Small Noise Expansion 概要
SNEによるヨーロピアンオプションの価格式
Stochastic Vol Models
モデル形
DLN-Heston モデル
DLN-Heston モデル
モデルパラメータの役割
モデルの数学的性質
フーリエ変換を使ったオプション価格式の導出
フーリエ積分を高速精確に行うテクニック
SABR モデル
SABR モデル
モデルパラメータの役割
漸近展開式によるBlack Volatilityカーブの導出
クレジットデリバティブズ
イントロダクション
CDO Tranche
CDO
CDO Trancheのスキーム
標準化されたCDO Tranche
デフォールトの相関
実践編
QuantLibを使ってみる
ダウンロード, インストール, ビルド
はじめに
Visual Studio のインストール
QuantLibのダウンロード
boost のダウンロードとビルド
QuantLibソリューションのビルド
Examplesプロジェクトのビルド
Exampleを試す
イントロダクション
EquityOption プロジェクト
EquityOption プロジェクト（続き）
Multi-Curve Bootstrapping
Multi-Curve Bootstrapping （続き）
Bonds
Bonds （続き）
CallableBonds
CallableBonds （続き）
BermudanSwaption
BermudanSwaption (続き)
Gaussian1DModels
はじめに
ソースコードのビルドと、プロジェクトの全体像
ソースコードの解析 その１
ソースコードの解析 その２
ソースコードの解析 その３
ソースコードの解析 その４
Replication
Replication (続き)
FittedBondCurveReplication
FittedBondCurve (続き)
DiscreteHedging
DiscreteHedging (続き)
CDS(credit default swap)
CDS (続き)
Implementing QuantLib 和訳
はじめに
I. Introduction
II. Financial Instruments and Pricing Engine
Top
The Instrument Class
The Instrument Class
Interface and Requirements
Implementation
Example: Interest-Rate Swap
Further Developments
Pricing Engines
Pricing Engines
Example: Plain Vanilla Option
III. Term Structures
Top
The TermStructure Class
Interface and Requirements
Implementation
Interest-Rate Term Structures
Interface and Implementation
Discount, Forward-rate, Zero-rate Curves
Example: Bootstrapping an Interpolated Curve
Example: Adding z-spread to an Interest-rate Curve
Other Term Structures
Default Probability Term Structure
Inflation Term Structures
Volatility Term Structures
Equity Volatility Structures
Interest-rate Volatility Structures
IV. Cash Flows and Coupons
Top
The CashFlow Class
Interest-Rate Couponos
Interest-Rate Coupons: はじめに
Fixed-Rate Coupons
Floating-Rate Coupons
Example: LIBOR Coupons
Example: Capped-Floored Coupons
Generating Cash Flow Sequences
Other Coupons and Further Developments
Cash Flow Analysis
Cash-Flow Analysis
Example: Fixed Rate Bonds
V. Parameterized Models and Calibration
Top
CalibrationHelper Class
CalibrationHelper Class
Example: Heston Model
Parameters
CalibratedModel Class
CalibratedModel Class
Example: Heston Model -continued
VI. The Monte Carlo Framework
Top
Path Generation
Random Number Generation
Stochastic Processes
Random Path Generation
Pricing on a Path
Putting it all together
Monte Carlo traits
The Monte Carlo Model
Monte Carlo Symulations
Example: basket option
VII. The Tree Framework
Top
The Lattice and DiscretizedAsset Class
The Lattice and DiscretizedAsset Class
Example: Discretized Bonds
Example: Discretized Option
Trees and Tree-Based Lattices
Trees and Tree-Based Lattices
The Tree Class Template
Binomial and Trinomial Trees
The TreeLattice Template
Tree-Based Engines
Tree-Based Engines
Example: Callable Fixed-Rate Bonds
VIII. The Finite Difference Framework
Top
The Old Framework
Differencial Operator
Evolution Schemes
Boundary Conditions
Step Conditions
The FiniteDifferenceModel Class
Example: American Option
Time-Dependent Operators
The New Framework
Meschers
Operators
Examples: Black-Scholes Operators
Initial, Boundary and Step Conditions
Schemes and Solvers
IX. Conclusion
Appendix
A: Odds and Ends
Basic Types
Date Calculations
Dates and Periods
Calendars
Daycount Conventions
Schedules
Finance-related Classes
Market Quotes
Interest Rate
Index
Exercise and Payoff
Math-related Classes
Interpolations
One-dimensional Solvers
Optimizers
Statistics
Linear Algebra
Global Settings
Utilities
Smart Pointers and Handles
Exceptions
Disposable Objects
Design Patterns
Observer Pattern
Singleton Pattern
Visitor Pattern
Appendix B: Code Conventions
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