上級編 ８ クレジットデリバティブズ
8.3 Gaussian Latent Variable Model (1 factor Gaussian Copula Model)
8.3.1 モデル
では、業界標準の Gaussian Latent Variable Model （正規分布潜在変数モデル）の解説に進みます。このデル名は、このチャプターを書く際に参考にした Dominic O‘Kane の“Modelling Credit Derivatives”で使われているものです。ただ実務では、1 factor Gaussian Copula Model（１ファクター正規コピュラモデル）と呼ばれる事が多く、その名前も併記しています。このモデルは、数ある Gaussian Copula Model（正規コピュラモデル）の中でも特に、CDOトランチなど、クレジットポートフォリオを対象資産とするクレジットデリバティブズの価格評価の為のモデルです。
（注 ： 同じ Gaussian Copula Model に分類されるモデルでも、前のセクションで説明した Vasicek のモデルや、CreditMetrix は、銀行のクレジットポートフォリオ全体のリスク評価のモデルであり、CDO の価格評価モデルではありません。）
前チャプターの冒頭（Section 8.2.1）で、このモデルを簡単に説明しました。その時に使ったモデルの式を、再記します。
\[ A_i=β~ M+\sqrt{1-\beta ^2}~ ϵ_i, ~~~~~~~ i=1,…,N ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \\ 但し ~~~~ M,~ϵ_i~~ \thicksim N(0,1), ~~~~ E[dM ∙ dϵ_i ]=0 \tag{8.1} \] \[ \begin{align} & Probability~ of~ default \\ &~~~~~ = P(A_i \lt D_i )=P\left(β~ M+\sqrt{1-\beta ^2}~ ϵ_i \lt D_i \right)=\Phi (D_i) \\ &~~~~~~~~~~~但し、~~~ Φ(…)は標準正規分布関数 \tag{8.2} \end{align} \]上式の意味は、
- 個別銘柄 i のデフォールトは、確率変数 \(A_i\) の値によって決まるとし、その \(A_i\) は、標準正規分布する２つの確率変数 \(M~ と~ϵ_i\) の線形結合になると定義。\(M~ と~ϵ_i\) のウェイトを、それぞれ \(β~と~\sqrt{1-\beta ^2} \) とする。すると、\(A_i\) も標準正規分布する。
- 確率変数 \(M~ と、その係数~ β\) は、全ての銘柄で共通。これを市場ファクターとする。
- 確率変数 \(ϵ_i,~~i=1,…,N\) は、個別銘柄ごとに決まるファクターで、各 \(ϵ_i\) は独立。
- 観測時に、\(A_i\) が銘柄ごとのデフォールト閾値 \(D_i\) を下回っていれば銘柄 i がデフォールトしたと看做す。その確率は標準正規分布関数を使って、\(P(A_i \lt D_i )=P\left(β~ M+\sqrt{1-\beta ^2}~ ϵ_i \lt D_i \right)=\Phi (D_i) \) で求まる。但し、実際の解析アルゴリズムではデフォールト確率を先に外生的に求め、そこから \(D_i\) を逆算する。
- その時、市場ファクターの係数 \(β\) の値を調整する事で、複数銘柄が同時にデフォールトする確率を調整できる（デフォールトの相関が表現できる）。
ここで説明しようとしている事は、このモデルからスタートして、ポートフォリオから発生するデフォールト損失率の同時確率分布関数（いわゆるコピュラ関数）を求める事です。それが求まれば、そこから CDO の価格評価に必要な、CDO トランチのサバイバルカーブを導出する事ができます。
このモデル形や、デフォールトの同時確率分布関数を求めるまでのプロセスは Vasicek のポートフォリオモデルによく似ています。というか、このモデルはもともと Vasicek のモデルがベースとなっています。しかし、基本的な考え方の点で Gaussian Latent Variable Model と、Vasicekのポートフォリオモデルは大きく異なります。その違いについて、次に簡単に解説します。