上級編 ８ クレジットデリバティブズ
8.3 Gaussian Latent Variable Model (1 factor Gaussian Copula Model)
8.3.4 価格評価アルゴリズム
8.3.4.6 CDO Tranche の価格評価式 （Section 8.3.3.1-⑪ のプロセス）
CDO トランチ毎に Tranche Survival Curve : \(\mathbb{Q}(t_i,K_A,K_D)\) が求まれば、CDO トランチの価格評価ができます。CDO トランチの価格評価方法も、考え方は一般の CDS と同じです（基礎編 Section 6.3 参照）。すなわち、プレミアムキャッシュフローとデフォールトキャッシュフローを、それぞれの発生タイミングに合わせて、キャッシュフロー発生確率(＝トランチサバイバルカーブ)とディスカウントファクターを掛けて現在価値に換算し合計します。（ここではイールドカーブは既に導出済みで、各時点のDiscount Factorはそこから簡単に導出できるという前提です。）
Attachment point が \(K_1\) で detachment point が \(K_2\) のトランチの価格評価式で表すと下記のようになります。
\[ \begin{align} CDO~& Tranche~ Price(K_1,K_2) \\ &= U(K_1,K_2) + S(K_1,K_2) \sum_{n=1}^{T_N} Δ_n D(t_n) \frac{\mathbb{Q}(t_n,K_1,K_2)+\mathbb{Q}(t_{n+1},K_1,K_2)}{2} \\ & ~~~~~ -\int_0^T D(t)\left(-d\mathbb{Q}(t,K_1,K_2 )\right) \tag{8.24} \end{align} \]但し
\(U(K_1,K_2)\) ： Protection Seller に支払われるアップフロントフィー
\(S(K_1,K_2)\) ： Protection Seller に支払われるプレミアムキャッシュフロー（年率）
\(\mathbb{Q}(t_n,K_1,K_2)~：~t_n\) 時までの元本サバイバル率（8.22 式、または8.23 式で求めたもの）
\(-d\mathbb{Q}(t,K_1,K_2)~：~ t \) 時におけるデフォールト確率密度（\([t,t+δt]\)内にデフォールトする確率）
この CDO トランチの価格評価式は、シンプルな CDS の価格評価式と若干異なる部分があります。基礎編 Section 6.3 で示した、シンプルな CDS の価格評価式を下記します。（基礎編で示した式を、8.24式に合わせて、Protection Sellerの式に変えています）
\[ \begin{align} CDS Value & =Premium Leg-Protection Leg \\ & =\sum_{i=1}^n c \left[ Δt_i\mathbb{Q}(t_i)D(t_i) + \int_{t_{i-1}}^{t_i} (τ-t_{i-1})D(τ)\left(-\frac{d\mathbb{Q}(τ)}{dτ}\right)dτ \right] \\ & ~~~~ -0.6 \sum_0^T D(τ)\left(-\frac{d\mathbb{Q}(τ)}{dτ}\right)dτ, \tag{8.25} \end{align} \]異なる点は
① シンプルな CDS の場合、Premium Leg のキャッシュフローは、デフォールトが発生すると、それ以降のキャッシュフローが消滅します。但し、デフォールト時点までの経過利息が、Protection Seller へ支払われます。上式（8.25）の総和 Σ の式中の第2項の積分が経過利息部分に該当します。
一方、CDO トランチの場合、単一のデフォールトが発生しても、それだけでは契約は消滅せず、次のプレミアム支払日以降も、元本が残っている限り、その残存元本に対してプレミアムが支払われ続けます（なのでデフォールト時の経過利息の精算は発生しない）。8.23 式の第２項は、プレミアム期間の元本残存率（の平均）に対してプレミアムが支払われると仮定した式になっています。その際、現在価値への割引率は、プレミアム期間のスタート日のそれが使われている点に注意して下さい。これも、期間中の平均を使う式にすれば、もう少し正確な式になります。
② シンプルなCDSでは、Protection Leg のキャッシュフローは、デフォールト発生時に１回だけ発生します。かつ、その時にデフォールト債権の一部が回収されると仮定しています。市場では回収率を 0.4 と看做すのが一般的で、すると Loss Given Default 率は 0.6 となり、8.25 式の第２項ではその値が掛けられています。そして、その支払いが発生した時点で CDS が終了します。
一方、CDO トランチでは、Protection Seller は Loss Given Default 額を、トランチの元本全額で引き受ける事になります。なので、単一銘柄のデフォールトだけでは契約は終了せず、発生した Loss Given Default 額を元本が 0 になるまで差引いていきます。8.24 式の第３項の積分は、積分関数が微小時間あたりの損失率に相当し、それを現在価値に換算した後、満期日 T まで足し上げる式になっています。
ちなみに、8.24 式の第２項の Protection キャッシュフローの計算は、積分で表記していますが、\(d\mathbb{Q}(t,K_1,K_2)\) は離散的に変化する差分になるので、実際には総和の計算アルゴリズムを使います。
以上が、CDO トランチの価格を求めるアルゴリズムの解説でした。Heterogeneous Portfolio Modelの仮定を取った場合、相関係数をシングルファクターとし、債権回収率もすべての銘柄で同じと仮定し、相当シンプル化しても、かなり複雑なアルゴリズムになっています。