上級編 ８ クレジットデリバティブズ
8.3 Gaussian Latent Variable Model (1 factor Gaussian Copula Model)
8.3.3 Modelを使ったCDOトランチの価格評価方法の概要
このセクションでは、この Gaussian Latent Variable Model を使った CDO トランチの価格評価方法の概要について解説します。非常に長くて複雑なアルゴリズムになるので、アルゴリズム全体を俯瞰できるように、価格導出手順を以下のようにまとめました。後のセクションで、それぞれ順を追って、より詳しく解説します。
そのアルゴリズムですが、以下のようなプロセスになります。
- ポートフォリオの構成銘柄のそれぞれにつき、CDS あるいは債券価格から、クレジットカーブを導出
- ベンチマークとなっている CDO トランチの市場価格から、モデルで使う Implied Correlation を導出（その方法は、後の Chapterで解説します。）
- ① で求めたクレジットカーブを使って、各銘柄の T 時までのデフォールト確率 \(P_i(T),~~i=1,…,N\) を導出。さらにそこから、標準正規分布関数 \(Φ(...)\) の逆関数を使って、各 \(A_i\) に対応するデフォールト閾値 \(D_i (T),~~i=1,…,N\) を導出。（8.2式参照）
- \(A_i\) を構成する２つのファクターの内、市場ファクターMを特定の値 m で条件付けする。すると、\(A_i\) がデフォールト閾値を下回るかどうかは、個別ファクター \(ϵ_i\) のみに依存する。そこで \(A_i\) のデフォールト閾値 \(D_i(T)~を、ϵ_i\) に対応するデフォールト閾値に変換する。そして標準正規分布関数に、そのデフォールト閾値を代入すれば、銘柄 i の条件付きデフォールト確率の分布関数が求まる。
- 4.で求めた個別銘柄ごとの条件付き確率を周辺確率分布関数として、N 銘柄のポートフォリオで発生するデフォールト損失率の条件付き同時確率分布を求める。N 銘柄中 k 銘柄がデフォールトする組み合わせは\(\frac{N!}{(N-k)!k!}\) 通りある。同時確率分布を求める為には、その組み合わせそれぞれについて確率を計算する必要があり、かつ、それをすべての k(k=0,…,N),で求める必要がある。N が大きくなると計算量が膨大になり、計算不能であるが、２項ツリーのアルゴリズムを使う事により、その計算量を大幅に減らせる。
- 5.で求めたデフォールト損失率の条件付き同時確率分布を、条件となった M の全領域で、M の確率密度関数で積分すれば（期待値を求めれば）、無条件の同時確率分布関数が求まる。その積分は解析的には求まらないので、M を離散化して、数値積分で求める。なので、その離散化された \(M=\{m_1,m_2,…,m_{max}\}\) のすべてについて、5.の２項ツリーを作成する必要がある。
- こうして求まったデフォールト損失率の無条件の同時確率分布関数が、いわゆるコピュラ関数（ここでは正規コピュラ）と呼ばれているものです。
- 5.～7.で求めたコピュラ関数は、デフォールト損失率の確率分布として求めたが、これをデフォールト数の同時確率分布関数と読み替える事ができる。すなわち、２項ツリーの各ノードが示す、デフォールト損失率（＝1－債権回収率）を整数に変換すれば（銘柄ごとの損失率を100%とみなせば）、各ノードはデフォールト数を示す。これは、すべての銘柄のデフォールト損失率が同じという仮定に基づく。しかし、もし債権回収率を、銘柄ごとに異なる値に設定しようとすると、5.の計算が非常に複雑になる（その方法については、別途解説）。
- CDO の満期までの期間を離散化し（通常３か月ごと）、各期間で3.～8.までの操作を行う。さらに、それを Interpolation すれば、デフォールト損失率のカーブ（期間構造）が構築できる。
- 9.のカーブを使い、CDOの各トランチのサバイバルカーブを構築
- このサバイバルカーブとイールドカーブを使いCDOトランチのキャッシュフローの現在価値を導出すれば、これがCDOトランチの価格となる。
このように、Gaussian Copula Modelを使った CDO トランチの価格評価は、かなり長く、複雑なプロセスになっています。このプロセスの中でも、特に、ポートフォリオから発生するデフォールト損失率の同時確率分布関数の導出が一番ややこしい部分になります（上記の3.～8.のプロセス）。次節以降の解説で、そのややこしい部分をできるだけ詳しく解説します。
ちなみに、この非常にややこしいプロセスは、相関するN個の標準正規乱数を使ったモンテカルロシミュレーションを行えば、簡単に時価評価が出来ます。ただ、その場合、価格計算に時間がかかるのと、ポートフォリオ内の個別銘柄のクレジットスプレッドに対する感応度を計算しようとすると、さらに膨大な計算量になります。上記のプロセスが複雑で理解できないのであれば、最後の手段として、モンテカルロシミュレーションという力業を使う事を、お勧めします。
< Heterogeneous Portfolio（各銘柄のデフォールト確率や債権回収率が異なるポートフォリオ） >
Vasicek のポートフォリオ損失モデルでは、Large Homogeneous Portfolio の仮定を置きました（section 8.2.3.3.2）。この仮定は、十分に分散された巨大ポートフォリオの中の、各銘柄の構成比、デフォールト確率、デフォールトの相関係数、債権回収率、がすべて同じであるとするものです。かなり大胆な仮定ですが、それぞれの値としてポートフォリオの平均値を使えば、巨大なローンポートフォリオから発生する損失予想額を、極めて高速に計算できます。しかしこの仮定は、あくまで概算の計算の為に使われるもので、CDO トランチの価格評価に使う事は出来ません。
市場で頻繁に取引されている CDO トランチでは、100 銘柄前後からなる対象ポートフォリオで、銘柄ごとのデフォールト確率が異なります。また、各銘柄の債権回収率で、いくつかの異なった水準を仮定して使う場合もあります。このようなポートフォリオを Large Homogeneous Portfolio に対して、Heterogeneous portfolio（構成銘柄が不均質ポートフォリオ）と呼びます。こういったポートフォリオを対象にした CDO の時価評価では、銘柄ごとに異なるデフォールト確率を使って、ポートフォリオの損失分布を計算する必要があります。というのは、CDO トランチを、対象ポートフォリオ内の個別銘柄の CDS や債券でヘッジする場合、クレジットスプレッドの違い（従ってデフォールト確率の違い）によって、個別銘柄のヘッジ比率が大きく変わってくるからです。ところが、そうすると計算量が膨大になるという別の問題が出てきます。
しかしその場合でも、うまく工夫すれば計算負荷を大幅に軽減でき、実用的な時間内で計算可能な方法があります。ここでは、Dominic O’Kane の本の中で紹介されている、Recursion 法と呼ばれている方法について解説したいと思います。さらに、その本では、それを非常によく近似でき、より高速な計算方法も提示されています。そちらも合わせて解説したいと思います。