上級編 ８ クレジットデリバティブズ
8.3 Gaussian Latent Variable Model (1 factor Gaussian Copula Model)
8.3.4 価格評価アルゴリズム
では、前のセクションで示したアルゴリズムのあらすじについて、より詳細に解説していきます。
8.3.4.1 銘柄ごとのデフォールト閾値の導出（Section 8.3.3.1- ①～③のプロセス）
CDO トランチの価格評価を行う場合、最初に対象ポートフォリオの各銘柄のクレジットカーブを、Credit Default Swap や債券・ローンの市場価格から導出しておきます。クレジットカーブの構築方法は、基礎編 Section 6.4 で解説済みです。その導出されたクレジットカーブから、将来の T 時までのサバイバル確率とデフォールト確率が求まります。また、デフォールトの相関に関する情報も、市場データから取得します。その方法については別途 Section 8.4 以降で解説しますが、ここでは、それらが既に求まっているとして進めます。
そうやって求めたデフォールト確率から、各銘柄のデフォールト閾値 \(D_i(T)\) を求めます。Gaussian Latent Variable Model では、デフォールトを判定する為の確率変数として、標準正規分布する確率変数 \(A_i\) を用意しました。そしてこの確率変数 \(A_i\) が、銘柄ごとのデフォールト閾値 \(D_i(T)\) を下回った場合に、デフォールトと看做します。すなわち
\[ Probability~of~default~of~issuer~"i"=P_i\left(A_i \lt D_i(T)\right)=\Phi(D_i(T)) \]ここでデフォールト確率（上式の左辺）は、先ほどクレジットカーブから求めたので、その値から右辺の \(Φ(…)\) の逆関数を使って \(D_i(T)\) 求めます。それを示した 8.3 式を再記します。
\[ D_i(T)=\Phi ^{-1} (P_i(T)),~~~i=1,…,N ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \tag{8.3} \]ここで、このデフォールト閾値 \(D_i(T)\) が時間 T の関数になっている事に注意して下さい。クレジットカーブから導出されるデフォールト確率は当然ながら時間 T の関数です。なので \(P_i(T)\) と表記しています。デフォールト閾値は標準正規分布関数 \(Φ(…)\) の逆関数にデフォールト確率 \(P_i(T)\) を与えて求めるので、\(D_i(T)\) も時間の関数になります。後程、ポートフォリオから発生するデフォールト損失確率の期間構造を求めますが、その Pillar（Interpolation の基準となる期間）ごとにデフォールト閾値 \(D_i(T_j),~~j=1,2,…\) を求めます。
少し、例を出します。仮に、銘柄 i のクレジットカーブから得られる、Ｔ 時までの（累積）デフォールト確率が、期間１年、５年、１０年でそれぞれ 1%, 6%, 13% であったとします( \(P_i(1)=0.01,P_i(5)=0.06\)\(~P_i(10)=0.13,\))。 すると、
\[ \begin{align} & Φ^{-1}(P_i(1))=Φ^{-1}(0.01)=D_i(1)=-2.32635, \\ & Φ^{-1}(P_i(5))=Φ^{-1}(0.06)=D_i(5)=-1.55477, \\ & Φ^{-1}(P_i(1))=Φ^{-1}(0.13)=D_i(10)=-1.12639, \end{align} \]となります。デフォールト閾値が、時間の経過とともに大きくなっていくので、Tが大きければ大きいほどT時までにデフォールトする確率も大きくなる様子が分かると思います。
8.3.4.2 個別銘柄の条件付きデフォールト確率の導出（Section 8.3.3.1-④のプロセス）
ここで 8.1 式 \(A_i=β~M+\sqrt{1-β^2}~ϵ_i~を使って、P_i(A_i \lt D_i(T))\) の括弧内を書き換えます。相関の情報 β は、市場データから既に求めているとします（8.2式を再記）。
\[ P_i \left(A_i \lt D_i(T)\right)=P_i \left(β~M+\sqrt{1-β^2}~ϵ_i \lt D_i(T)\right) \tag{8.2} \]求めたいのは個別銘柄の \(P_i(…)\) を周辺確率分布関数とする、ポートフォリオ全体のデフォールト数の、同時確率分布関数（joint probability distribution function）です。その同時確率分布関数を求めるには、本来なら銘柄ごとの周辺分布関数を、多重積分する必要があります。しかし、計算量が莫大になり実用的ではありません。なので、Vasicek のポートフォリオモデルと同様、一旦 M の値を ｍ で固定し、銘柄ごとの条件付き周辺確率分布関数を求め、その総積で、条件付き同時確率分布関数を求めます（次の8.3.4.3で解説）。さらにそれを M の確率密度関数で積分する事で、無条件の同時分布関数を求めます（その後の8.3.4.4で解説）。
まず、M＝m の時の条件付き周辺確率分布関数は、確率変数 \(ϵ_i\) の分布関数を使って、下記のように求まります。式から分かる通り、\(ϵ_i\) も標準正規分布すると仮定しているので、標準正規分布関数 Φ(...) を使って周辺確率分布関数が表現できます。（Section 8.2.1 で示した 8.4 式です）
\[ P_i \left(ϵ_i \lt \frac{D_i(T)-β~m}{\sqrt{1-β^2}}~|~M=m \right)=\Phi \left(\frac{D_i(T)-β~m}{\sqrt{1-β^2}}\right), ~~~i=1,…,N \tag{8.4} \]式中の \(\frac{D_i(T)-β~m}{\sqrt{1-β^2}}\) は、M＝m と条件付けした場合の、\(ϵ_i\) に対応するデフォールト閾値になります。